Условия для скорости и напряжений на жидкой границе двух сред

Как было отмечено в § 1.9, вообще имеются два соотношения перехода на поверхности для каждой переносимой величины: одно соотношение отражает непрерывность соответствующей интенсивности при переходе через поверхность и основывается на предположении, что локальное отклонение от равновесия не слишком велико, а другое отражает непрерывность нормальной компоненты вектора потока (с учетом влияния поверхностного натяжения). Количество движения жидкости представляет собой одну такую переносимую величину, причем связанными с ней интенсивностью и вектором потока являются скорость и напряжения соответственно. Учитывая, что мы получили выражение для тензора напряжений, можем приступить к выводу в явном виде граничных условий, необходимых в дальнейшем при математическом определении распределения скорости в жидкости.

Первое из двух упомянутых выше соотношений перехода состоит просто в том, что касательная компонента скорости непрерывна при переходе через жидкую границу, разделяющую жидкость и другую среду. Согласно § 1.9, подтверждение этого условия можно искать в известном факте, что любой разрыв скорости при переходе через жидкую поверхность приводит почти немедленно (путем молекулярного переноса) к очень большому напряжению на поверхности в таком направлении, что исключается относительная скорость двух масс; следовательно, условие непрерывности скорости является не точным законом, а лишь приближенным утверждением того, что можно ожидать в обычных условиях. Эффективность вязкого напряжения в сглаживании разрыва скорости в жидкости зависит от величины вязкости и от других факторов, которые будут изучены позже. Очевидно, имеются некоторые специальные условия, в которых касательные напряжения относительно малы и в которых по какой-либо причине большие градиенты скорости поддерживаются, и в таких случаях может быть удобно говорить о «разрыве» в скорости, хотя и не в буквальном смысле этого слова.

Случай границы, отделяющей жидкость и твердое тело, особенно важен для практики. Непрерывность касательной компоненты скорости при переходе через границу называется в этом случае условием отсутствия скольжения (условием прилипания). Выполнение условия прилипания на поверхности раздела жидкость — твердое тело обсуждалось в последнем столетии в течение нескольких лет, причем было сомнение в том, приводит ли взаимодействие молекул на такой поверхности раздела к переносу количества движения такой же природы, как перенос на поверхности внутри жидкости; однако отсутствие скольжения жидкости на твердой стенке неоднократно подтверждалось непосредственным наблюдением и правильностью многих следствий из этого условия при нормальных условиях. Одним важным исключением служит течение газа при такой низкой плотности, что средняя скорость молекул заметно изменяется на протяжении одного среднего свободного пути их пробега. По-видимому, в потоке такого газа может быть ненулевой скачок скорости и температуры на твердой стенке, что понятно, поскольку число столкновений, совершаемых молекулами в элементе объема прежде, чем они рассеиваются в поле течения, недостаточно велико, чтобы равновесие установилось хотя бы приближенно.

Второе из двух соотношений перехода заключается в том, что разность между напряжениями на двух элементах поверхности, параллельных границе и расположенных с двух ее сторон, представляет собой нормальную силу, полностью обусловленную

поверхностным натяжением, выражаемым соотношением (1.9.8). Записывая это соотношение более подробно с помощью выражения (3.3.11) для тензора напряжения удобно взять отдельно компоненты поверхностной силы, нормальные к границе (направление ) и касательные к ней (направление t). В случае касательной компоненты в обозначениях рис. 1.9.4 имеем

а для нормальной компоненты —

Условия (3.3.17) и (3.3.18) должны выполняться в каждой точке границы между двумя различными жидкостями.

Целесообразно сравнить форму, принимаемую двумя рассматриваемыми соотношениями перехода на жидкой границе — условиями непрерывности скорости и непрерывности напряжения (с учетом поверхностного натяжения) — в двух крайних случаях, в которых среда с одной стороны границы или является совершенно твердой, или имеет пренебрежимо малые плотность и вязкость. На поверхности раздела жидкость — твердое тело как нормальная, так и касательная компоненты скорости непрерывны. так что если скорость твердой границы задана, то имеется практически удобное граничное условие для распределения скорости в жидкости. Однако напряжение в твердом теле неизвестно, и нет никакого простого граничного условия для распределения напряжений в жидкости.

Другой крайний случай можно охарактеризовать как поверхность раздела жидкость — газ, причем плотность и вязкость газа много меньше тех же величин жидкости. Из уравнения Навье — Стокса в форме (3.3.12) видно, что изменения величины давления в жидкости уменьшаются с уменьшением плотности и вязкости так что если скорости и их производные в газе и в жидкости по величине сравнимы, то давления в газе изменяются много меньше, чем в жидкости, и напряжения трения в газе также много меньше. В качестве первого приближения для напряжения всюду в газе можно взять где его постоянное давление. Поэтому сравнение скачка напряжения на поверхности раздела в нормальной силы, вызванной поверхностным натяжением, дает в каждой точке поверхности следующие приближенные граничные условия для течения жидкости (предполагается, что оно происходит на той стороне поверхности раздела, от которой направлена нормаль

Обычно можно считать, что на поверхности раздела если иметь в виду эффективную несжимаемость жидкости. Условия (3.3.19) и (3.3.20) соответствуют тому, что называется свободной поверхностью жидкости. Условие непрерывности скорости на поверхности раздела, как правило, в данном случае не используется; это следует из приближенного выражения напряжений в газе, поэтому распределение скоростей в газе интереса не представляет и может оставаться неизвестным.

Оба соотношения перехода на поверхности раздела необходимо использовать только в том случае, когда нужно найти распределения скоростей в жидкостях по обе стороны от жидкой границы.

Упражнение

(см. скан)