Двумерная струя, вытекающая на отверстия

Как отмечалось в § 6.3, желательно знать степень сужения (коэффициент сжатия) струи жидкости, вытекающей из насадка; теорема о количестве движения пригодна для этой цели только для одной или двух специальных форм насадков. Теория течений со свободными линиями тока может дать дополнительную информацию в некоторых двумерных случаях (хотя они, конечно, имеют меньшее практическое значение).

Предположим сначала, что насадком служит просто отверстие в плоской стенке малой толщины и что стенка — это часть большого сосуда с жидкостью. Скорость жидкости на свободных линиях тока, отрывающихся от краев отверстия, постоянна и равна эта же скорость достигается внутри струи вниз по потоку на достаточном удалении от отверстия, где (без учета силы тяжести) линии тока прямолинейны и параллельны (рис. 6.13.1). Две линии тока, ограничивающие поле течения, на которых обозначены через и где точки «на бесконечности»; на рис. 6.13.1 показаны соответствующие прямолинейные границы в плоскостях где определяется теперь несколько более удобно:

Конформное отображение полубесконечной полосы на верхнюю полуплоскость осуществляется преобразованием (6.5.14). Приспосабливая это преобразование к заданным условиям положения, ширины и ориентации полосы в плоскости (при которых в преобразовании (6.5.14) должно быть получаем

выбор остальных постоянных в преобразовании (6.5.14) (а именно произведен так, чтобы в плоскости А, точкам соответствовали значения Теперь надо найти зависимость между так, чтобы она отображала внутренность бесконечной полосы из плоскости на верхнюю полуплоскость К с соответствием точек показанным в двух плоскостях

Рис. 6.13.1. Конформные преобразования, используемые для определения двумерной струи, вытекающей из отверстия в плоской стенке.

рис. 6.13.1, причем значение в точках для удобства выбрано равным нулю. Общий вид искомого преобразования определяется функцией (6.5.15); выбирая в нем подходящие постоянные имеем

Итак, поле течения отображено на верхнюю полуплоскость X двумя способами, результаты которых должны совпадать, так что

Отсюда находим

отрицательный корень можно отбросить, поскольку при Последующее интегрирование (с использованием (6.1314)) дает

где постоянная, и, поскольку в точке В, в которой равно ширине отверстия), получаем

После подстановки А, из (6.13.4) в (6.13.6) находится искомая связь между

На свободной линии тока имеем

и в силу (6.13.3) и (6.13.4) получаем

где означает расстояние вдоль свободной линии тока от точки В. Тогда уравнение (в параметрической форме) этой свободной линии тока определяется функцией (6.13.6):

а асимптотическая полуширина струи равна

На рис. 6.13.1 показана точная форма свободных линий тока. Связь между при становится линейной. Это означает, что, как и предполагалось, на достаточном удалении вниз по потоку скорость жидкости постоянна, так что и поэтому

Эту величину коэффициента сжатия, близкую к получаемой экспериментально, следует сравнить с величинами, приведенными на рис. 6.3.2 для круглых насадков с различными формами границ вблизи отверстия.

Аналогичный расчет формы свободных линий тока можно сделать для струи, вытекающей из двумерного насадка Борда, подобного насадку, показанному на рис. 6.3.2, б, и из отверстия, образованного двумя наклоненными плоскими стенками (одна из которых может быть бесконечной). Для струи, вытекающей из отверстия между двумя симметричными полубесконечными плоскими стенками, образующими угол , коэффициент сужения равен

Методы теории комплексного переменного пригодны также для определения течения, вызванного двумерными соударяющимися струями.