Движущаяся сфера

В простом случае сферы радиуса а, движущейся со скоростью в направлении внутренним граничным условием является

Очевидно, что это условие может выполняться для всех 0, если пропорционально осесимметричной сферической функции или полиному Лежандра первого порядка (см. (6.8.2) и (6.8.3)), и что решение

удовлетворяет внутреннему и внешнему граничным условиям и согласуется с решением, найденным в § 2.9 другим путем. Это решение применимо в момент времени, когда центр сферы находится в начале координат, а в любой другой момент, когда сфера находится в точке

Функция тока соответствующая потенциалу скорости определяется выражением

Рис. 6.8.1. Линии тока в осевой плоскости безвихревого обтекания неподвижной сферы в потоке с постоянной скоростью на бесконечности.

Это выражение совпадает с функцией тока диполя источников, расположенного в начале координат и имеющего ось, параллельную направлению (см. (2.5.5)). Функция тока течения в системе координат, движущейся вместе со сферой, получается путем добавления слагаемого — в правой части равенства (6.8.15):

соответствующие этому течению линии тока представлены на рис. 6.8.1. Продольная симметрия спектра линий тока не воспроизводится на практике, когда сфера движется с постоянной скоростью (ср. с фото 5.11.7), однако, как уже объяснялось ранее, она отражает реальные свойства течения, возникающего сразу после начала движения сферы из состояния покоя, или же течения, обусловленного быстрым колебательным движением сферы относительно стационарного среднего положения.

Кинетическая энергия жидкости, обусловленная движением сферы, находится с использованием решения (6.8.13):

Следовательно, тензорные коэффициенты определяемые равенствами (6.4.15) и (6.4.16), таковы:

Из формулы (6.4.28) следует, что реакция на ускорение сферы

направлена параллельно (и противоположно) вектору независимо от направления самой скорости и что влияние жидкости на движение сферы под действием приложенных к ней сил оказывается таким же (без учета силы плавучести), как если бы масса сферы увеличилась на половину массы вытесненной жидкости.

Обтекание сферы жидкостью встречается во многих практических задачах о движении твердых или жидких сфер в газообразных средах либо твердых сфер или сферических пузырей в жидкости, и приведенные выше формулы имеют широкое применение, несмотря на ограничения, связанные с предположением о безвихревом течении. Отметим вкратце существо некоторых приложений, касающихся свободно движущихся сфер.

Рассмотрим сначала уравнение движения сферы массы находящейся в безвихревом движении со скоростью в безграничной жидкости под действием приложенной силы X и с учетом силы тяжести, действующей непосредственно на сферу и косвенно — на силу плавучести, а именно

где масса жидкости, вытесненной сферой. Особый интерес представляет движение сферы под влиянием одной только силы тяжести, при котором имеем

Эта формула справедлива в ограниченный период времени с момента начала ускоренного движения сферы из состояния покоя в неподвижной жидкости. При жидкость оказывает малое влияние на начальное ускорение сферы; но если то

Таким образом, сферический газовый пузырек в воде движется из состояния покоя с направленным вверх ускорением и так как в этом случае отрыв пограничного слоя, по-видимому, не происходит (в жидкости без примесей), то пузырек сохраняет это ускорение до тех пор, пока он не деформируется или пока скорость не станет сравнимой с предельной скоростью, рассмотренной в § 5.14.

Представляют интерес задачи, в которых сфера приводится в движение относительно жидкости при прохождении через жидкость звуковой волны. Предположим, что радиус сферы мал по сравнению с длиной звуковой волны и что жидкость в окрестности сферы при ее отсутствии имеет скорость У. Ускорение этой жидкости (также при отсутствии сферы) равно приближенно V, причем для звуковой волны конвективный член

пренебрежимо мал. Выберем теперь систему координат, движущуюся со скоростью V и ускорением V, учитывая, что в уравнении движения жидкости появится сила инерции —V, и что она приведет к силе плавучести как объяснялось в § 6.4. При безвихревом движении жидкости уравнение свободного движения сферы в отсутствие других приложенных сил и без учета силы тяжести записывается в виде

где скорость сферы в системе координат, движущейся без ускорения; это, конечно, просто частный случай общего уравнения (6.4.30). Интегрирование уравнения (6.8.22) дает

причем постоянная интегрирования принята равной нулю в предположении, что не происходит дрейфа сферы через жидкость. Выражение (6.8.23) применимо к колебаниям малой сферы, взвешенной в жидкости, через которую проходит звуковая волна, если частота колебаний достаточно велика, чтобы толщина завихренного пограничного слоя была малой (см. § 5.13). Если плотность сферы больше плотности жидкости, то амплитуда колебаний сферы будет меньше, чем амплитуда колебаний окружающей ее жидкости; если сфера легче жидкости, то она будет совершать колебания с большей амплитудой, чем жидкость.

Один из способов визуализации движения частиц воды в большом баке со свободной поверхностью, через которую выстреливается снаряд, заключается в предварительном распределении по всему объему жидкости малых пузырьков воздуха и в фотографировании процесса их импульсивного движения. Пузырьки воздуха получаются на фотографии в виде полосок, направление которых совпадает с направлением локального смещения воды, и выражение (6.8.23) показывает, что длина полосок должна быть приблизительно в три раза больше смещения частиц воды.

Дальнейшее приложение изложенных выше идей связано с задачей о сближении и слиянии газовых пузырьков в жидкости, когда они совершают колебания в одной фазе. Каждый колеблющийся пузырек порождает в окружающей его жидкости ускоренное движение в радиальном направлении, и два соседних пузырька влияют на движение друг друга.

В данном случае нам нужна более общая форма уравнения (6.8.22), в которой учитывается изменение присоединенной массы

а именно

В случае пузырька газа в жидкости поэтому

Таким образом, если скорость V периодична при нулевом среднем значении, а периодична с относительно малой пульсационной частью, то пульсация приближенно равна и среднее значение ускорения пузырька за один цикл равно величине

которая может быть отличной от нуля. В частности, если два сферических пузырька, расположенных на расстоянии друг от друга, вытесняют массы жидкости плотности равные соответственно

где то первый пузырек в месте расположения второго вызывает приблизительно однородную скорость и поэтому среднее ускорение второго пузырька вдоль соединяющей их прямой равно

причем отрицательный знак указывает, что ускорение направлено к первому пузырьку. Такое притяжение между двумя пузырьками (или между одним пузырьком и плоской границей) приводит в конце концов к установившейся скорости дрейфа каждого пузырька, поскольку силы вязкости препятствуют их перемещению. Сила притяжения обычно очень мала, хотя благодаря ее появлению можно использовать ультразвуковые колебания жидкости для очистки жидкости от малых пузырьков газа.