Теорема об окружности

Знание аналитической функции, преобразующей область вне замкнутой кривой данной формы в область вне круга, полезно дополнить одним общим результатом, важным в случаях, когда в жидкости вне замкнутой границы имеются особенности течения.

Этот результат, известный как теорема об окружности (Милн-Томсон (1940)), касается комплексного потенциала, представляющего движение жидкости безграничной протяженности при наличии одной внутренней границы в виде окружности. Предположим сначала, что в отсутствие кругового цилиндра существует течение с комплексным потенциалом

и что функция не имеет особенностей в области где а — действительная длина. Если теперь внести в жидкость неподвижный круговой цилиндр радиуса а с центром в начале координат, то течение изменится; каждой особенности функции соответствует ее отражение (инверсия) относительно окружности, так что суммарное течение, вызванное особенностью и ее отражением, сохраняет окружность как линию тока. Общее выражение для присоединенной системы особенностей получим с учетом того, что на окружности

(черточкой отмечена комплексно-сопряженная величина), поэтому

должна быть действительной величиной на окружности Следовательно, комплексный потенциал в виде (6.5.23) имеет среди линий тока окружность его особенности вне этой окружности те же, что и функции так как если точка z лежит вне круга то точка располагается внутри этого круга, где функция по предположению особенностей не имеет. Следовательно, дополнительный член в сумме (6.5.23) полностью отражает изменение комплексного потенциала, вызванное наличием в потоке кругового цилиндра. Следует напомнить, что рассматриваемые комплексные потенциалы как при наличии, так и при отсутствии кругового цилиндра относятся к течению в такой системе координат, в которой цилиндр неподвижен.

Простейшее из возможных приложение теоремы об окружности относится к неподвижному круговому цилиндру, помещенному в поток, скорость которого на бесконечности имеет компоненты В отсутствие цилиндра комплексный потенциал имеет вид и теорема об окружности показывает, что при наличии цилиндра

что нам уже известно. Другой простой случай, который иначе изучается не так просто, представляет собой течение, обусловленное точечным вихрем интенсивности и в точке с комплексным потенциалом При наличии в этом потоке кругового цилиндра радиуса комплексный потенциал принимает вид

В этом случае присоединенная система состоит из точечного вихря интенсивности и в начале координат и точечного вихря интенсивности в точке инверсной по отношению к положению исходного вихря.

Если внутренняя граница жидкости не имеет формы окружности, то предварительное конформное отображение области, внешней по отношению к этой границе, на внешность круга дает новую задачу о течении с внутренней границей в виде окружности с новой системой особенностей. Соответствие между особенностями течения в двух этих плоскостях, связанных конформным отображением, было рассмотрено ранее, так что последующее нахождение комплексного потенциала сводится к применению теоремы об окружности.