7.5. Установившееся осесимметричное течение с закруткой

Рассмотрим осесимметричное течение в цилиндрических координатах с соответствующими компонентами скорости и заданными компонентами завихренности

Уравнение сохранения массы будет выполнено, если компоненты скорости и записать в виде

где - функция тока; тогда азимутальная компонента завихренности будет равна

Следует отметить, что компоненты завихренности получаются из точно таким же образом, как и компоненты скорости получаются из

Из векторного уравнения движения (7.1.3) получаем три скалярных уравнения

где в случае осесимметричного течения зависит только от Уравнение (7.5.6) можно переписать в виде

Теперь оно выражает постоянство циркуляции по жидкому контуру в форме окружности, имеющей центр на оси симметрии и лежащей в плоскости, нормальной к ней. Задачи об осесимметричном закрученном течении обычно содержат интересные и трудные вопросы, касающиеся взаимодействия окружной (азимутальной) компоненты скорости и движения в осевой плоскости с компонентами скорости и и у.

Если движение установившееся, то каждая частица жидкости движется вдоль линии тока по поверхности, образованной вращением кривой лежащей в осевой плоскости, относитель

но оси симметрии течения. Тогда из теоремы Бернулли и из (7.5.7) следует

где произвольные функции от Теперь два из выражений (7.5.1) принимают вид

показывающий, что компоненты векторов в осевой плоскости параллельны, а поверхности Бернулли суть поверхности вращения, на которых функция тока постоянна. Любое из уравнений (7.5.4) или (7.5.5) можно использовать для получения выражения в зависимости от Из (7.5.4) при находим

то же самое получается из (7.5.5). (Если поток не закручен, то величина зависит только от что согласуется с Из (7.5.3) и (7.5.10) получаем уравнение относительно

Течения, в которых все переменные не зависят от представляют определенный интерес в связи с движением жидкости в кольцевых каналах и трубах; такие течения можно назвать цилиндрическими, так как поверхностями Бернулли для них служат круговые цилиндры. Уравнение движения в радиальном направлении в случае такого установившегося течения принимает вид

так что имеем

Уравнение (7.5.11) сводится, таким образом, к тождеству; любое распределение или, что равносильно, в зависимости от соответствует некоторому возможному установившемуся цилиндрическому течению.

В случае установившегося течения, когда все линии тока приходят из некоторой области, возможно из «бесконечности», где значения для различных линий тока известны, функция

в (7.5.11) будут известными и тогда во всем поле течения в принципе можно определить как функцию от Практически это можно сделать только для очень простых зависимостей от К счастью, относительно простой случай, в котором жидкость далеко вверх по потоку имеет постоянную осевую скорость и вращается как твердое тело с угловой скоростью оказывается одним из самых важных на практике. Условия вверх по потоку задаются в виде

а поскольку в области вверх по потоку течение цилиндрическое и для него справедливо (7.5.13), то имеем

Теперь условия вверх по потоку можно переписать так:

и эта зависимость от должна быть одной и той же во всем поле течения. Таким образом, основное уравнение для поля течения становится линейным

Его удобно переписать в несколько ином виде, используя в качестве зависимой переменной не саму функцию тока а ее отклонение от исходной функции тока в области вверх по потоку, положив

итак, получаем

где

Теперь на примерах решения уравнения (7.5.16) мы поясним некоторые соображения о довольно сложном взаимодействии осевого и азимутального движений. Следует иметь в виду, что линейность уравнения (7.5.16) есть результат специального вида условий (7.5.14), наложенных на течение в области вверх по потоку. Что же касается решений уравнения (7.5.11), соответствующих иным условиям вверх по потоку, то о них мало что известно.