5.7. Пограничные слои

В предыдущих разделах было введено понятие тонкого слоя, прилегающего к твердой границе, внутри которого происходит быстрое изменение завихренности в результате комбинированного действия вязкой диффузии и конвекции и вне которого завихренность равна нулю (или отлична от нуля и изменяется весьма медленно). Теперь мы можем приступить к обсуждению более общей идеи пограничного слоя, представляющего собой тонкий слой, внутри которого важно влияние вязкости, если даже число Рейнольдса течения велико.

Мы проанализировали развитие течения из состояния покоя в результате движения тела в бесконечной жидкости со скоростью, которая становится постоянной; при этом было отмечено, что твердая граница действует на жидкость как источник завихренности, которая диффундирует затем от стенки за счет вязкости и переносится путем конвекции вместе с жидкостью вниз по потоку (в общем случае завихренность изменяется также из-за вращения и растяжения вихревых линий, однако для наших целей этими изменениями завихренности можно пренебречь). По мере увеличения числа Рейнольдса в таком течении влияние конвекции в любой

точке течения становится более значительным. Мы видели также, что в некоторых течениях при наличии твердых границ та область, внутри которой вязкость оказывает какое-либо влияние на течение, ограничена при тонким слоем, лежащим на границе. К числу таких течений относятся, например, течение, вызванное колебанием плоской стенки (§ 4.3), течение в окрестности критической точки на плоской стенке (§ 5.5) и сходящееся течение в канале (§ 5.6). Эти и многие другие частные случаи течений подтверждают важную гипотезу, впервые выдвинутую Прандтлем (1905) и состоящую в следующем: для довольно широкого диапазона условий эффекты вязкости (такие, как напряжения и силы, вызванные вязкостью, диффузия завихренности и др.) являются значительными и сравнимыми по величине с конвекцией и другими проявлениями сил инерции в некоторых слоях, прилегающих к твердым границам, или в некоторых других слоях, толщина которых стремится к нулю по мере стремления числа Рейнольдса к бесконечности, а вне этих слоев указанные эффекты вязкости малы.

После того как была выдвинута эта гипотеза, она была применена к весьма различным классам течений. Общего математического доказательства существования пограничного слоя нет, однако гипотеза подтверждается многочисленными экспериментальными наблюдениями конкретных течений, а также несколькими известными частными решениями полных уравнений движения жидкости. Рассмотренный в § 5.6 случай расходящегося течения в канале служит полезным предостережением о неприменимости гипотезы пограничного слоя ко всем течениям. В оставшейся части этой главы мы выясним ряд простых положений о тех течениях, к которым указанная гипотеза не может быть применена, а также обсудим некоторые приемы, полезные при ее использовании в конкретных задачах.

Гипотеза пограничного слоя помогает примирить, с одной стороны, интуитивные представления о том, что малая вязкость не оказывает какого-либо влияния на большую часть поля течения, и, с другой стороны, тот факт, что, сколь бы малой ни была величина на твердой границе должно выполняться условие прилипания; и действительно, такое согласование было основной целью исследования Прандтля и явилось важным рубежом в развитии механики жидкости. Пограничный слой — это по существу слой, в котором происходит переход от нулевого значения скорости жидкости на границе к конечному значению, которое соответствует в определенном смысле (о чем будет сказано позже) течению невязкой жидкости.

Тот факт, что пограничный слой тонок по сравнению с размерами тела, позволяет ввести некоторые аппроксимации в уравнениях движения, что также было сделано Прандтлем; тем самым появляется

возможность в некоторых случаях определить течение внутри пограничного слоя. С целью выяснения этих аппроксимаций рассмотрим в качестве границы плоскую стенку а течение будем считать двумерным. Толщина пограничного слоя (определяемая некоторым подходящим способом) всюду предполагается малой по сравнению с расстоянием вдоль границы, на котором происходит заметное изменение скорости жидкости. Поперек пограничного слоя скорость изменяется от нулевого значения на границе до некоторого конечного значения, характерного для невязкой жидкости; кроме того, производные по координате у любой из рассматриваемых величин в потоке в общем случае много больше производных тех же величин по координате х. Таким образом, для точек внутри пограничного слоя мы можем использовать следующие оценки:

следовательно, уравнение движения в проекции на ось х принимает вид

Поскольку нормальная компонента скорости также должна быть мала, то из уравнения сохранения массы, а именно из уравнения

заключаем, что компонента и толщина пограничного слоя имеют одинаковый порядок малости отсюда следует, что ни одним членом в левой части уравнения (5.7.1) нельзя пренебречь.

Различие между уравнением пограничного слоя (5.7.1) и соответствующим уравнением движения для невязкого течения вне пограничного слоя состоит в том, что в уравнении (5.7.1) оставлен член который выражает вязкую диффузию поперек пограничного слоя. По определению пограничного слоя в нем происходит значительная вязкая диффузия завихренности, так что для точек внутри пограничного слоя член в (5.7.1) должен быть сравним по величине с инерционными членами в левой части этого уравнения. Если величина и является характерной для инерционных членов в левой части уравнения (5.7.1), то мы можем считать, что при больших числах Рейнольдса основного потока область пограничного слоя определяется по порядку величин оценкой

Далее, если характерное значение для скорости и рассматриваемого течения, характерный линейный размер в направлении оси х, на котором происходит заметное изменение скорости и, то порядок величины и будет равен Если через обозначить малую длину, характеризующую толщину пограничного слоя то порядок величины будет равен Выписанная выше оценка принимает теперь вид

Число Рейнольдса в данном случае соответствует основному течению, а поскольку оценки, лежащие в основе теории пограничного слоя, улучшаются при то, очевидно, (5.7.3) можно переписать как

Тот факт, что толщина пограничного слоя изменяется как при малых уже известен из рассмотренных ранее частных случаев течений. Эта зависимость основана исключительно на соображениях о размерностях величин, которые приводят к весьма общему результату; как мы уже видели раньше, при некоторых условиях эту зависимость можно представить иначе: расстояние, на которое проникает диффузия завихренности или скорости, имеет порядок что справедливо для слоя, развивающегося к моменту времени (в нашем случае время эквивалентно отношению

С учетом этой оценки порядка величины и, следовательно, порядка величины производных по у из (5.7.2) заключаем, что порядок компоненты равен Теперь мы располагаем всем необходимым для вывода уравнения движения в проекции на ось у. В этом уравнении все члены, кроме одного, очевидно, малы, и мы получаем приближенное соотношение

точнее говоря, имеет тот же порядок малости, что и 60. Таким образом, давление поперек пограничного слоя приближенно можно считать постоянным; в том случае, когда известно изменение давления по х вне пограничного слоя (полученное либо путем решения уравнений невязкого течения вне пограничного слоя, либо экспериментально), член с давлением в (5.7.1) можно считать заданным. Уравнения (5.7.1) и (5.7.2) позволяют тогда определить компоненты скорости и и у во всем пограничном слое.

Граничные условия состоят, во-первых, из условий на стенке

и, во-вторых, из требования, чтобы пограничный слой гладко сопрягался с областью внешнего невязкого течения. Если через обозначить компоненту скорости вдоль х на внешней границе слоя и учесть, что величина и медленно изменяется по у (так что невозможность точно указать внешнюю границу пограничного слоя не имеет существенного значения), то второе условие можно записать в виде

При рассмотрении пограничного слоя отдельно от внешнего течения величина подобно давлению должна быть задана; эти две величины удовлетворяют приближенному уравнению

описывающему невязкое течение в проекции на ось х в области сразу вне пограничного слоя (где мало, а членом можно пренебречь); для установившегося течения уравнение (5.7.8) эквивалентно теореме Бернулли. т. е. утверждению, что постоянно вдоль линии тока на внешней границе пограничного слоя.

Третье граничное условие необходимо для описания того, каким образом происходит конвекция завихренности внутри пограничного слоя от удаленных участков его вверх по потоку; это означает, что функция и должна быть задана при некотором значении х. И наконец, если движение неустановившееся, то в момент должна быть задана и

Асимптотическая зависимость (5.7.4) для может быть использована для преобразования уравнений пограничного слоя таким образом, чтобы исключить из них число Рейнольдса (или коэффициент вязкости). Для перехода к более удобной системе координат, в которой горизонтальные размеры и скорости измеряются в относительных единицах, а толщина пограничного слоя принимается в качестве единицы измерения, мы определим следующие безразмерные величины:

значение давления в некоторой условно выбранной точке течения. В этих новых переменных полная система уравнений движения в проекциях на оси х и у, а также уравнение

сохранения массы принимают вид

Если мы теперь предположим, что велико и что безразмерные величины вместе с их производными по остаются конечными и ненулевыми для рассматриваемых значений при (это соответствует гипотезе пограничного слоя), то получим систему приближенных уравнений

которые становятся точными в пределе при

Эти уравнения представляют собой просто преобразованные уравнения (5.7.1), (5.7.5) и (5.7.2). Уравнения (5.7.11) не содержат в явном виде число Рейнольдса; оно не будет содержаться также и в граничных условиях, выраженных с использованием введенных выше безразмерных величин, а следовательно, и в решении уравнений. Роль числа Рейнольдса сводится лишь к определению толщины пограничного слоя, поэтому пограничные слои, соответствующие различным числам Рейнольдса, но одним и тем же граничным условиям (в безразмерной форме), будут идентичными в масштабе толщины

Для простоты рассуждений мы считали пограничный слой двумерным, прилегающим к твердой плоской стенке. В действительности ни одно из этих ограничений не является существенным. Если основное течение трехмерное, то пограничные слои образуются вблизи твердых стенок, и в общем случае в таких пограничных слоях вектор скорости при перемещении вдоль нормали к стенке будет изменять свое направление, оставаясь почти параллельным стенке. И снова уравнения, описывающие течение в пограничном слое, можно будет преобразовать так, чтобы исключить из них число Рейнольдса. Если пограничный слой формируется на искривленной стенке, то в этом случае естественно заменить систему прямолинейных координат системой криволинейных ортогональных координат х, у, так, чтобы координатная линия совпадала с криволинейной границей. При этом кривизна стенки

войдет в полное уравнение движения, однако можно показать (и это совершенно очевидно), что влияние кривизны стенки х в приближенных уравнениях для двумерного течения приведет лишь к небольшому изменению уравнения (5.7.5), которое запишется в виде

Если кривизна х конечна, то полное изменение давления поперек пограничного слоя имеет порядок и им можно пренебречь, так что уравнение (5.7.8), связывающее давление в пограничном слое и скорость на внешней его границе, остается справедливым.

Более того, для существования пограничного слоя излишне требовать, чтобы стенка была твердой, поскольку в приведенных выше рассуждениях влияние твердой стенки проявляется лишь в виде граничного условия (5.7.6) (правда, наличие твердой стенки — одна из наиболее общих причин формирования пограничного слоя; высказывая гипотезу пограничного слоя, Прандтль имел в виду это обстоятельство). В общем случае пограничный слой будет возникать на любой границе, граничные условия на которой не соответствуют в точности распределению скорости, получаемому из уравнений движения невязкой жидкости. Так, например, пограничный слой может существовать на «свободной» поверхности, на которой касательные напряжения обращаются в нуль (§ 5.14). В области между двумя приближенно невязкими движущимися жидкостями может также существовать тонкий слой, в котором значительны эффекты вязкости и для обеих границ которого применимы граничные условия, подобные (5.7.7). Переходный слой между двумя однородными параллельными потоками с разными скоростями (§ 4.3) оказывается таким же разделяющим или свободным «пограничным» слоем, хотя для него нет надобности прибегать к аппроксимации, поскольку те члены, которыми пренебрегают в уравнениях пограничного слоя, оказываются здесь тождественно равными нулю.

При определенных условиях, сводящихся в основном к требованию, чтобы были велики соответствующие числа Рейнольдса, к свободным «пограничным» слоям можно отнести также струи и следы. Очевидно, что должен существовать по крайней мере один отделившийся слой завихренности, который распространяется вниз по потоку от движущегося в жидкости твердого тела; действительно, возникшая на границе тела завихренность сносится вниз по потоку и в конечном счете срывается с кормовой части тела; если поперечный градиент завихренности в прилегающем к границе слое достаточно велик, он будет большим и в отделившемся вниз по потоку слое или следе, так что там будет важна вязкая диффузия завихренности; во всяком случае, на некотором расстоянии вниз по потоку от тела она будет существенна до тех

пор, пока не произойдет значительное расширение отделившегося вихревого слоя.

В остальных разделах данной главы будут кратко описаны свойства пограничных слоев, а также будут продемонстрированы основные черты пограничных слоев при больших числах Рейнольдса для некоторых частных случаев течения. Исследования пограничных слоев столь же обширны, сколь и важны. Однако мы можем дать здесь лишь некоторое введение в них. Для простоты обсуждения ограничимся лишь двумерными или осесимметричными течениями; для этих течений вращение вихревых линий не происходит, а растяжение вихревых линий в случае осесимметричного течения особенно простое. Сказанное выше не должно оставить у читателя впечатление, что упомянутые течения наиболее интересны и что только они поддаются аналитическому решению.