Связь между девиатором напряжений и скоростью деформации для ньютоновой жидкости

Поскольку напряжение в любой точке жидкости отражает взаимодействие соседних частей жидкости вблизи этой точки, естественно рассмотреть связь между напряжением и локальными параметрами жидкости. Для покоящейся жидкости это простой вопрос, поскольку напряжение полностью определяется одной скалярной величиной статическим давлением в жидкости, которое в свою очередь можно найти из равновесного уравнения состояния, когда известны значения двух локальных параметров состояния (например, плотности и температуры); если же известно распределение массовой силы на единицу объема жидкости, то не обязательно рассматривать локальные параметры более чем в одной точке, так как давление определяется всюду из уравнения

механического равновесия (1.4.2). Если жидкость находится в относительном движении, то связь между напряжением и локальными параметрами жидкости оказывается более сложной по двум причинам: во-первых, тензор напряжений кроме изотропной части содержит еще неизотропную часть и, во-вторых, скалярная величина определяемая его изотропной частью, не является одним из параметров состояния, используемых в равновесной термодинамике. Первое из этих двух отклонений от состояния равновесия связано с переносом количества движения или внутренним трением, и оно, несомненно, наиболее важно для большинства течений, как будет показано позднее.

Рассуждение, используемое при нахождении связи девиатора напряжений и локальных параметров жидкости, аналогично рассуждению, приведенному в § 1.6, и отличается от него только лишь аналитическими выкладками вследствие векторного характера переносимой величины (а именно количества движения жидкости). Читателю рекомендуется еще раз посмотреть § 1.6 и вспомнить, что внутреннее трение в движущейся жидкости представляет собой один из нескольких видов переноса, возникающих при отклонении среды от состояния равновесия; в частности, нужно еще раз прочитать обсуждение в конце § 1.6 молекулярного переноса количества движения в случае простого сдвига. Кроме того, к рассматриваемому вопросу относится также часть § 1.7 и 1.8, касающаяся коэффициентов переноса, таких, как коэффициент вязкости, и параметров газов и жидкостей, хотя в этих параграфах, как и в § 1.6, принят феноменологический подход и ищутся соотношения, вид которых не зависит от природы молекулярного механизма внутреннего трения.

Предполагается, что часть потока количества движения через элемент жидкой поверхности, связанного с взаимодействием сред посредством трения в относительном движении по обе стороны от этого элемента (напряжения трения представляются девиатором напряжения), согласно общей гипотезе из § 1.6, должна зависеть только от мгновенного распределения скорости жидкости в окрестности элемента, а точнее от величины отклонения этого распределения от однородного. Локальный градиент скорости, типичная компонента которого есть представляет собой, следовательно, параметр поля течения, наиболее тесно связанный с девиатором напряжения, а поскольку производная обычно постоянна на всех расстояниях, больших по сравнению с характерными для механизма молекулярного переноса количества движения, то мы примем, что девиатор напряжений зависит только от одного этого параметра. Более того, обращается в нуль в покоящейся жидкости и, следовательно, обращается в нуль вместе с У нас нет способа вывести зависимость от для жидкостей в общем случае, поэтому мы вернемся

к гипотезе, введенной в § 1.6 и состоящей в том, что тензор (аналогичный вектору потока из § 1.6) представляет собой в первом приближении линейную функцию различных компонент градиента скорости для достаточно малых их величин. Математически эта гипотеза записывается в виде

где коэффициент тензор четвертого порядка — зависит от локального состояния жидкости, но не зависит непосредственно от распределения скоростей и обязательно симметричен по как и Формула (3.3.4) есть тензорный аналог линейного соотношения (1.6.1) для скалярной переносимой величины. На этой стадии удобно писать производную как в § 2.3, в виде суммы ее симметричной (тензор скоростей деформации) и антисимметричной частей вектор завихренности), поэтому формула (3.3.4) становится такой:

Тензор принимает простой вид, если молекулярная структура жидкости статистически изотропна, т. е. если девиатор напряжений, возникающих в элементе жидкости под действием заданного градиента скорости, не зависит от ориентации элемента. Все газы обладают изотропной структурой, как и простые жидкости, хотя в суспензиях и растворах, содержащих очень длинные линейные молекулы, могут появляться некоторые предпочтительные направления вследствие выравнивания ориентации этих молекул в зависимости от предыстории движения. Рассмотрим жидкости с изотропной структурой, для которых коэффициент изотропный тензор, т. е. такой, что для него нет предпочтительного направления в пространстве.

В руководствах по тензорному анализу показано, что основным изотропным тензором является дельта-тензор Кронекера и что все изотропные ортогональные тензоры четного порядка можно записать в виде суммы произведений дельта-тензоров. Поэтому

где — скалярные коэффициенты, а поскольку тензор симметричен по должно быть

Кроме того, теперь видно, что тензор симметричен и по индексам , и в результате этого член, зависящий от вектора ,

выпадает из равенства (3.3.5), и тогда

где А — скорость объемного расширения, и, как и в главе 2.

Это выражение для тензора в случае изотропной жидкости можно вывести из формулы (3.3.5) другим способом, не используя явно тождество (3.3.6). Рассмотрим сначала жидкость, совершающую чистое вращение. Из формулы (3.3.5) следует, что изменение направления вектора со на противоположное приводит к изменению знака всех компонент девиатора напряжений, что невозможно в изотропной жидкости, так как эта операция равносильна сохранению фиксированного направления вектора со и выбору другой ориентации осей (замене направлений на противоположные); следовательно, тензор должен иметь такую форму, чтобы член с со в равенстве (3.3.5) обращался тождественно в нуль. Далее, для чисто деформационного движения можно утверждать, что поскольку свойства жидкости одинаковы в любом направлении, то главные оси тензора должны определяться тензором следовательно, совпадать с главными осями последнего; формула же (3.3.7) является единственно возможным линейным соотношением между тензорами и ей, удовлетворяющим этому условию.

Наконец вспомним, что по определению тензор не дает добавка к среднему нормальному напряжению, поэтому равенство

должно выполняться для всех значений отсюда следует, что

Выбирая в качестве единственной независимой скалярной постоянной для девиатора напряжений, получаем выражение

где величина внутри скобок есть просто неизотропная часть тензора скоростей деформации. Это выражение для было выведено Сен-Венаном (1843) и Стоксом (1845) по существу изложенным выше способом, после того как оно было получено Навье (1822) и Пуассоном (1829), исходя из специальных предположений относительно молекулярного механизма внутреннего трения. Для изотропных упругих тел существует аналогичное линейное соотношение между напряжениями и деформациями.

Следует отметить, что при сферически симметричном деформационном движении, для которого Абгу, девиатор напряжений равен нулю. Это простое следствие сферической симметрии движения и нашего определения тензора как отклонения полного тензора напряжений от изотропного. Возникает вопрос: имеются ли какие-нибудь неравновесные эффекты при изотропном расширении? Ответ состоит в том, что такие эффекты возможны, хотя они только в редких случаях имеют какое-либо значение, и что они учитываются в нашем анализе величиной определяемой как среднее нормальное напряжение во всех случаях. Влияние на среднее нормальное напряжение отклонения от равновесия при изотропном расширении рассмотрено в следующем параграфе.

Значение параметра который зависит от локального состояния жидкости, можно оценить по формулам, получающимся из равенства (3.3.9) в случае простого движения сдвига. Если единственная отличная от нуля производная скорости, то все компоненты тензора равны нулю, за исключением касательного напряжения

Таким образом, есть коэффициент пропорциональности между скоростью сдвига и касательной компонентой силы на единицу площади, когда плоские слои жидкости скользят относительно друг друга; он уже был введен в формуле (1.6.15) и назван коэффициентом вязкости жидкости. Тот факт, что единственная скалярная постоянная, необходимая в приведенном выше общем выражении для связан с полученным в § 2.3 результатом, что относительное движение общего вида вблизи любой точки можно представить как наложение двух простых движений сдвига, каждое из которых порождает касательное напряжение, определяемое коэффициентом и соответствующим градиентом скорости, а также квазитвердого вращения и изотропного расширения; ни одно из этих последних слагаемых не оказывает какого-либо влияния (в изотропной жидкости) на неизотропную часть тензора напряжения; итак, выражение (3.3.9) можно, конечно, рассматривать как единственное возможное линейное тензорное соотношение, содержащее один скалярный параметр, между тензором и симметричным тензором сумма диагональных элементов которого равна нулю.

На основании многочисленных опытов известно, что сила, действующая между слоями жидкости при их относительном скольжении, всегда есть сила трения, противодействующая относительному движению, чему соответствует как и ожидалось, исходя из того, что молекулярный перенос количества движения, происходящий в результате случайного движения или

расположения молекул жидкости, стремится сгладить любые пространственные неоднородности в распределении средней скорости независимо от механизма переноса. Кроме того, формула (3.3.9) показывает, что положительное значение соответствует также таким знакам главных напряжений, возникающих от чтобы противодействовать главным скоростям деформаций (ср. обсуждение в § 1.7 реакции газа при сжатии его поршнем); так, например, малая жидкая сфера, по мере ее деформации в эллипсоид, действует на окружающую жидкость силами трения, нормальная компонента которых направлена вовне (внутрь) эллипсоида в тех местах его поверхности, где она смещается внутрь (вовне) относительно сферы одинакового с эллипсоидом объема.

Эксперименты с различными жидкостями и полями течений показывают, что приведенное выше линейное соотношение между скоростью деформации и неизотропной частью тензора напряжений может оставаться справедливым в исключительно широком диапазоне значений скорости деформации. Наблюдения потока жидкости в круглой трубе малого радиуса при наличии перепада давления на ее концах (см. § 4.2) особенно подходят для этой цели. Хотя исключение всех членов, кроме линейного по градиентам скоростей в правой части исходного выражения (3.3.4), было проведено исключительно в виде гипотезы, которая, казалось бы, может годиться только для малых градиентов скорости, из наблюдений следует, что эти «малые» градиенты скорости включают и те значения, которые обычно встречаются на практике. Для воды и для большинства газов линейный закон, по-видимому, выполняется весьма точно при всех условиях, за исключением, возможно, самых крайних, таких, как в ударной волне. Жидкости, для которых линейное соотношение (3.3.9) выполняется точно, обычно называются ньютоновыми жидкостями (в ознаменование факта, что простая формула (3.3.10) для движения сдвига была предложена Ньютоном). Для жидкостей со сложной молекулярной структурой и, в частности, с длинными линейными молекулами, а также для некоторых эмульсий и смесей выражение девиатора напряжений (3.3.9) может нарушаться при весьма умеренных скоростях деформации; для некоторых же жидкостей типа каучука напряжение, очевидно, зависит от истории деформации, а также и от мгновенной скорости деформации. Мало известно о том, как следует изменить выражение (3.3.9) для таких жидкостей. Инженеры-химики часто встречаются с жидкостями, которые при обычных рабочих условиях проявляют неньютоновы свойства, однако, несмотря на промышленное значение неньютоновых жидкостей, мы не можем уделить им внимания.

Тот факт, что линейное соотношение между девиатором напряжений и тензором скоростей деформации выполняется в большом диапазоне скоростей деформации для многих жидкостей,

становится понятным, если рассмотреть молекулярный механизм внутреннего трения. Относительное движение жидкости в целом может вызывать только малые изменения статистических свойств молекулярного движения, если характерное время движения, т. е. величина, обратная характерной скорости деформации, велико по сравнению с характерным временем молекулярного движения (которое в случае газа определяется средним временем между столкновениями молекул). Это и есть условия, при выполнении которых можно ожидать, что физические предположения, используемые при выводе соотношения (3.3.9), будут справедливы. Для воздуха при нормальных температуре и давлении среднее время между столкновениями составляет приблизительно сек, так что по крайней мере для газов очевидно, что обычно встречающиеся на практике значения скорости деформации в самом деле «малы» в указанном выше смысле. Для капельных жидкостей нельзя так просто оценить характерное время молекулярного движения, однако любое время, связанное с молекулярным движением, по-видимому, чрезвычайно мало по сравнению с обратной величиной обычных значений скоростей деформации.

Типичные значения вязкости газов и жидкостей при различных условиях уже обсуждались в § 1.7 и 1.8, а наблюдаемые значения коэффициента для воздуха, воды и некоторых других обычных жидкостей приведены в приложении 1. Для воздуха при нормальных температуре и давлении , а для воды . Ни в одном из этих случаев не изменяется заметно с изменением давления, но для воздуха возрастает с температурой вблизи ее нормальных значений со скоростью приблизительно 0,3% на для воды убывает с температурой со скоростью около 3% на Коэффициенты вязкости воздуха и воды при обычных условиях являются, следовательно, очень малыми величинами, когда они выражены в единицах, обычно используемых на практике для большинства других механических величин; поэтому естественно возникает вопрос, можно ли рассматривать эти простые жидкости, по крайней мере для некоторых целей, как жидкости, имеющие нулевую вязкость, т. е. невязкие. Это — важный вопрос, который будет подробно рассмотрен в гл. 5. Здесь нам нужно только отметить, что для невязкой жидкости касательные напряжения всюду равны нулю и тензор напряжений имеет такую же изотропную форму, как и для любой жидкости в состоянии покоя.

Уравнение Навъе — Стокса

Принимая во внимание выражение (3.3.9) для девиатора напряжений. полный тензор напряжений (3.3.3) запишем в виде

где

Подставляя его в уравнение движения (3.2.2), получаем

Это уравнение обычно называется уравнением Навье — Стокса.

Для многих жидкостей коэффициент вязкости существенно зависит от температуры (см. § 1.7, 1.8), и когда в поле течения имеются заметные разности температур, нужно рассматривать как функцию координат. Однако, к счастью, эти разности часто достаточно малы, чтобы коэффициент можно было считать постоянным по всей жидкости; в этом случае уравнение (3.3.12) становится проще

Следующий частный случай, имеющий важное значение, это случай несжимаемой жидкости. Уравнение сохранения массы сводится для нее к уравнению а уравнение (3.3.13) в векторных обозначениях принимает вид

Если силу и коэффициент вязкости можно считать заданными, это уравнение количества движения и уравнение сохранения массы дают четыре скалярных уравнения для определения скорости и, плотности и давления как функций от Вообще требуется еще одно скалярное уравнение, и обычно таким уравнением принимается уравнение состояния жидкости, но при этом вводится еще одна переменная (обычно температура), которая используется при рассмотрении внутренней энергии жидкости (см. § 3.4). Однако если жидкость ведет себя как несжимаемая, а так обычно ведут себя реальные жидкости в условиях, описываемых в § 3.6, то плотность каждого элемента жидкости при изменениях давления не изменяется, и поэтому она является инвариантом, если не имеется никаких других процессов, изменяющих плотность (например, молекулярного переноса тепла или растворенного вещества). Тогда получаем дополнительное уравнение

которое, конечно, представляет собой частный случай уравнения состояния жидкости; явное использование уравнения (3.3.15) часто оказывается необязательным вследствие того, что

плотность среды, однородная в начальный момент, остается однородной и в последующем. Таким образом, для несжимаемой жидкости система уравнений теперь полна и достаточна для определения скорости и и давления если, конечно, известны соответствующие граничные условия.

Существует кажущееся противоречие в форме приведенного выше выражения для результирующей силы на единицу объема жидкости, обусловленной внутренним трением, которое наиболее отчетливо проявляется для несжимаемой жидкости постоянной вязкости. Результирующая сила вязкости равна

Мы видели, что вязкое напряжение возникает исключительно вследствие деформации жидкости и не зависит от локальной завихренности. Поэтому на первый взгляд удивительно, что результирующая сила вязкости на единицу объема пропорциональна производной от завихренности по координатам. Объяснение этого факта полностью кинематическое и связано с векторным тождеством, использованным при написании равенства (3.3.16); величины и независимо влияют на возникновение напряжения, но некоторые пространственные производные от тождественно связаны с некоторыми производными от .

Надо отметить, что сила вязкости на единицу объема несжимаемой однородной жидкости обращается в нуль, если вектор имеет везде одинаковое значение и, в частности, когда т. е. если движение жидкости безвихревое; однако вязкие напряжения при этом вовсе не равны нулю.