Интегральные инварианты распределения завихренности

Непосредственное использование полного количества движения, момента количества движения и кинетической энергии жидкости оказывается невозможным, поскольку соответствующие интегралы для этих величин расходятся. Однако существуют связанные с ними величины, которые обладают ожидаемым свойством инвариантности относительно времени. Проще всего можно убедиться в этом путем рассмотрения интегральных инвариантов распределения завихренности, а затем обсудить их связь с упомянутыми выше физическими величинами.

Как завихренность, так и площадь жидкого элемента в плоском течении постоянны, поэтому первым и простейшим из интегральных инвариантов будет

который берется по всей плоскости течения; величина этого интеграла равна циркуляции по произвольному замкнутому контуру, проведенному на большом расстоянии от начала; таким образом, этот инвариант можно считать прямым следствием теоремы Кельвина о циркуляции.

Первые интегральные моменты распределения завихренности также постоянны. Действительно,

подставляя сюда выражение для и из (7.3.1), убеждаемся, что этот интеграл равен нулю; аналогичный результат получаем и для Таким образом, мы можем определить две инвариантные величины

представляющие собой координаты «центра завихренности». Если то центр завихренности расположен на бесконечности.

Следующий интегральный момент, инвариантность которого подтверждается непосредственно, есть Скорость изменения во времени этого интеграла равна

подставляя сюда выражения из (7.3.1), убеждаемся, что последний интеграл равен нулю. Таким образом, длина определяемая соотношением

и представляющая дисперсию распределения завихренности относительно фиксированного центра завихренности служит еще одним инвариантом рассматриваемого движения.

Размерности интегральных величин

наводят на мысль, что эти величины связаны с количеством движения и моментом количества движения жидкости (слоя единичной толщины). Соответствующие соотношения нельзя выписать непосредственно, если поскольку в этом случае скорость на бесконечности не будет достаточно малой, чтобы интегралы по всей жидкости, выражающие количество движения и момент количества движения, имели смысл. Пусть функция тока

представляет разность заданного движения и установившегося течения с той же полной завихренностью, сконцентрированной в начале координат. Величина скорости такого дополнительного течения убывает как при так что интеграл, выражающий соответствующее количество движения, все еще не будет абсолютно сходящимся. Однако можно показать, как и в случае рассмотренного в § 7.2 трехмерного течения, что полный импульс силы, который должен быть приложен к жидкости для порождения из состояния покоя определенного выше дополнительного течения, имеет компоненты

Аналогично этому можно показать, что полный момент (относительно начала координат) импульса силы, требуемого для порождения дополнительного течения из состояния покоя, равен

Пока еще мы не установили инварианта, который соответствовал бы кинетической энергии жидкости. Введение дополнительного движения не спасает положения в случае нелинейной величины, подобной кинетической энергии, так что мы должны избрать

другой путь. Рассмотрим кинетическую энергию жидкости в слое единичной толщины, занимающем конечную площадь ограниченную замкнутой кривой с линейным элементом

Первый из двух последних интегралов сходится при Второй не сходится, но его асимптотический вид легко определить с использованием (7.3.3). Выбирая в качестве ограничивающей кривой окружность радиуса с центром в начале координат, находим, что при

(интегралы берутся по всей плоскости). Отсюда следует, что при некотором фиксированном большом значении величина

равна той части кинетической энергии жидкости, которая зависит от того, каким образом распределена заданная полная завихренность жидкости. Поскольку над жидкостью не совершается никакой работы и потерь энергии за счет диссипации не происходит, следует ожидать, что величина не зависит от времени; этот вывод можно подтвердить непосредственным вычислением.

Итак, мы нашли, что интеграл и величины определенные выше, постоянны при движении жидкости. Движение элементов жидкости происходит с постоянной завихренностью относительно фиксированного центра, с постоянной дисперсией завихренности относительно того же центра и с постоянным значением интеграла (7.3.9). Эти вполне строгие условия, которые должны выполняться при всех изменениях распределения завихренности, позволяют качественно предсказать развитие движения жидкости при некоторых простых начальных распределениях завихренности.

Рис. 7.3.2. Несимметричная составляющая распределения завихренности в случае, когда на круговое ядро постоянной завихренности наложено возмущение

Если распределение завихренности лишь приближенно симметрично относительно некоторого центра, то, по-видимому, «несимметричная» часть завихренности будет вместе с жидкостью двигаться вокруг центра симметрии; при этом она, вообще говоря, может изменять свою форму. Этот процесс мы можем подробно исследовать для случая, когда завихренность имеет постоянную величину в области, ограниченной в некоторый момент кривой

и равна нулю всюду вне этой области; здесь целое число, Это распределение завихренности можно считать наложением распределения с постоянной величиной внутри окружности радиуса а и слоя завихренности вдоль окружности с вихревой плотностью как показано на рис. 7.3.2. Первое распределение создает чисто вращательное движение, которое заставляет выпуклости и впадины границы вращаться вокруг центра окружности с угловой скоростью Второе распределение деформирует границу области завихренности, создавая в каждой точке 8 окружности радиальную компоненту скорости, определяемую интегралом (в смысле главного значения)

или, так как

равную Однако эта радиальная компонента скорости на границе в точности равна той скорости, которая необходима для того, чтобы граница вида (7.3.17) вращалась как твердое тело вокруг центра с угловой скоростью Эти два движения вместе создают, таким образом, вращение всего распределения завихренности как твердого тела с угловой скоростью

так что поле течения будет установившимся относительно осей, вращающихся с этой (постоянной) угловой скоростью.

Вообще всегда, когда в односвязной области имеется завихренность одного знака, а вне ее она равна нулю, распределение завихренности стремится вращаться как твердое тело. Прямые методы для определения стационарных относительно вращающихся осей распределений завихренности не известны, хотя решения для некоторых специальных случаев получены. Можно показать, как впервые было отмечено Кирхгофом, что область однородной завихренности, ограниченная эллипсом вращается без изменения формы с угловой скоростью

(что находится в соответствии с приведенным выше результатом при . В пределе при область ненулевой завихренности становится вихревым слоем, расположенным на отрезке оси х с вихревой плотностью

этот слой также вращается без изменения формы.

Если завихренность в одних областях жидкости положительна а в других отрицательна, причем то, очевидно, могут существовать установившиеся движения относительно поступательно движущихся осей координат. Как было установлено выше, движение, вызванное двумя точечными вихрями с интенсивностями будет установившимся относительно осей, которые перемещаются со скоростью в направлении нормали к прямой, соединяющей вихри. На рис. 7.3.3 показаны линии тока этого установившегося течения. Представляется вероятным, что завихренность, сконцентрированная в каждом точечном вихре, может быть распределена внутри областей с границами, приближенно повторяющими замкнутые линии тока на рис. 7.3.3; такое распространение завихренности не нарушает условий установившегося движения.

Рис. 7.3.3. Линии тока установившегося течения относительно пары точечных вихрей с интенсивностями

Известен один частный случай установившегося движения с распределением завихренности указанного вида; если предположить, что внутри области ненулевой завихренности

где k — постоянная, то для функции тока в полярных координатах получается уравнение

Будем искать решение этого уравнения, которое сращивается с функцией тока внешнего безвихревого течения; попытаемся найти функцию тока вида

как для безвихревого обтекания кругового цилиндра. Тогда общее решение уравнения (7.3.20) запишется следующим образом:

при оно дает круговую линию тока а. Если теперь положить

то скорость на этой линии тока, согласно (7.3.21), будет иметь то же самое значение что и при обтекании кругового цилиндра радиуса а однородным потоком со скоростью на бесконечности в направлении

На рис. 7.3.4 показаны линии тока в области для этого установившегося течения в частном случае (это наименьшее возможное значение При больших значениях

Рис. 7.3.4. Линии тока в области а для установившегося течения, обусловленного завихренностью, пропорциональной и однородным потоком с подходящей скоростью на бесконечности.

величины и изменяют знак один или несколько раз, если двигаться вдоль радиуса до границы области безвихревого течения.

Рассматривая отдельно области внутри и вне окружности радиуса или воспользовавшись формулой (7.3.7), можно определить импульс жидкости относительно осей, связанных с жидкостью на бесконечности; он представляет собой вектор, имеющий направление вдоль положительной оси х и величину

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)