Законы сохранения для движущейся жидкости

Многие из законов механики сплошной среды формулируются как утверждения, что полное количество некоторой величины, связанной с массой жидкости, либо инвариантно, либо изменяется определенным образом под влиянием известных внешних воздействий, таких, как, например, молекулярный перенос через граничную поверхность. Если результирующий эффект этих внешних воздействий можно выразить в виде интеграла по объему жидкости, то дифференциальное уравнение, описывающее распределение рассматриваемой величины, можно вывести с помощью полученных выше выражений для скоростей изменения субстанциональных интегралов.

Полная масса жидкости в заданном жидком объеме представляет собой наиболее очевидную неизменяемую величину. Интеграл является инвариантом, и обращение в нуль правой части равенства (3.1.11) при для любого выбора объема сразу приводит к уравнению сохранения массы (2.2.3).

Рассмотрим теперь произвольную, относящуюся ко всему объему жидкости, величину (например, кинетическую энергию или

количество движения), которая в расчете на единицу массы жидкости является локальной интенсивностью и которую обозначим Для жидкого объема рассматриваемая величина определяется интегралом будем считать, что она изменяется под влиянием внешних воздействий со скоростью, определяемой интегралом где функция от через обозначена эффективная плотность распределения интенсивности соответствующих источников, и она может зависеть некоторым образом от (мгновенного) движения жидкости. Тогда «закон сохранения» этой величины с соответствующей интенсивностью имеет вид

или, с учетом соотношения (3.1.12),

Если это равенство справедливо при любом выборе объема то интенсивность должна удовлетворять дифференциальному уравнению

Можно также вывести дифференциальное уравнение (3.1.14), рассматривая изменения соответствующей полной величины для жидкости, ограниченной в данный момент неподвижной в пространстве поверхностью А. Между этими рассуждениями имеются различия, которые хотя и незначительны, но заслуживают упоминания. В данном случае полная величина определяется интегралом где V — объем, ограниченный поверхностью А, и эта полная величина изменяется как вследствие внешних воздействий, так и в результате прохождения жидкости через поверхность А. Поток этой величины через поверхность А в направлении внешней нормали при движении жидкости равен поэтому искомый закон сохранения можно записать в виде

или

Из условия, чтобы соотношение (3.1.15) выполнялось при любом выборе объема V, получается дифференциальное уравнение

Видно, что это уравнение совпадает с дифференциальным уравнением (3.1.14), если учесть уравнение сохранения массы (2.2.2), которое, конечно, уже применялось при выводе уравнения (3.1.14) с использованием (3.1.12).

Точное выражение функции в (3.1.14) зависит от природы рассматриваемой величины с интенсивностью 0, и здесь нет необходимости его рассматривать. Однако если полная величина, связанная с данной массой жидкости, изменяется лишь вследствие молекулярного переноса через граничную поверхность, можно сразу заметить изменение вида дифференциального уравнения для при движении жидкости. В § 1.6 было установлено, что для покоящейся жидкости скорость молекулярного переноса физической величины интенсивности пропорциональна локальному градиенту от 0; соответствующее значение определяется равенством (1.6.4). Рассуждение, приведенное в § 1.6, в одинаковой мере применимо и к движущейся жидкости, поэтому выражение для величины в том случае, когда она отражает эффект молекулярного переноса, является тем же самым, что и для жидкости в состоянии покоя. Следовательно, влияние движения жидкости на форму дифференциального уравнения (3.1.14) определяется членом в его левой части; в случае покоящейся жидкости он имеет вид а для движущейся жидкости

Различные специальные дифференциальные уравнения, выведенные в § 1.6 в случае неподвижной среды для различных физических величин, на которые оказывает влияние молекулярный перенос, теперь можно применить в случае движущейся жидкости. Например, дифференциальное уравнение (1.6.7) относительно числовой доли отмеченных молекул С принимает вид

Если рассматривается теплопроводность, то инвариантной величиной при отсутствии молекулярного переноса является энтропия; при условии, что в движущейся жидкости теплопроводность представляет собой единственный процесс с изменением энтропии, уравнение (1.6.10), очевидно, должно быть заменено в этом случае на уравнение

Специальные формы уравнения теплопроводности (1.6.11) и (1.6.12) изменяются аналогичным способом.

Дифференциальные уравнения для векторных величин, удовлетворяющих законам сохранения, также можно вывести, пользуясь соотношениями (3.1.9) и (3.1.10); один пример такого вывода приведен в § 5.2 и 5.3.