Модель малярной кисти

Когда кисть, смоченная в краске, проводится по поверхности твердой стенки, некоторая часть краски снимается с кисти силой трения на твердой границе и остается в виде слоя за кистью, толщина которого вскоре становится постоянной под действием поверхностного натяжения. Определение количества краски, остающейся на стенке, — задача, имеющая практическое значение; полезно выяснить, как это количество зависит от свойств краски и кисти. Рассматриваемая ниже модель кисти (которая не претендует на близость к реальности) дает грубое представление о процессе и дает еще один пример установившегося течения одного направления.

Рис. 4.2.2. Схема модели малярной кисти.

Предположим, что кисть состоит из большого числа параллельных и равноотстоящих друг от друга тонких твердых пластин, которые совместно скользят по плоской стенке в направлении их линии контакта со стенкой вдоль оси х (рис. 4.2.2). Пространство между пластинами заполнено жидкостью, а так как пластины перемещаются вдоль стенки, то жидкость приводится в движение относительно этих пластин под действием касательного напряжения на стенке. Предположим прежде всего, что пластины имеют бесконечные размеры в направлениях осей так что результирующее движение представляет собой установившееся течение одного направления. В данном случае градиента давления нет, и уравнение движения имеет вид

Оси координат удобно связать с пластинами, тогда граничные условия течения в канале между двумя соседними пластинами будут

где относительная скорость движения кисти и стенки.

Математически эта задача представляет собой хорошо известную краевую задачу, и мы начнем с исследования решений с разделенными переменными. Одно такое решение, удовлетворяющее однородным граничным условиям при определяется функцией

в которой принимает целые значения. Появление больших скоростей при исключается физическими условиями задачи,

так что искомое решение должно иметь вид

если можно подобрать такие константы которые позволяют удовлетворить оставшемуся условию при Из этого условия следует, что

и, следовательно,

Этот ряд, а также ряды, получаемые из него путем почленного дифференцирования по у или по сходятся при если то ряд (4.2.17) сходится, хотя, конечно, существует разрыв решения и при и при и почленное дифференцирование не дает рядов, сходящихся при

Этим распределением скорости можно теперь воспользоваться для получения оценки толщины слоя жидкости, который будет оставаться на стенке позади кисти, если предположить, что все пластины имеют заднюю кромку при одном и том же значении х. Будем считать, что жидкость занимает только пространство между пластинами, за исключением области вблизи стенки, где она притормаживается под действием трения на стенке, и предположим, что полученное выше распределение скорости справедливо до выходной кромки пластин. Объемный расход жидкости, вытекающей из одного канала, есть

и, следовательно, средняя толщина слоя, остающегося на стенке, равна Роль, которую играет расстояние между пластинами, очевидна. Вязкость жидкости не входит в выражение для толщины слоя, как и следовало ожидать от модели, в которой результирующая сила вязкости, действующая на каждый элемент жидкости, равна нулю; на практике же важны все свойства краски вследствие того, что способ, которым краска покидает кисть, несомненно, по существу намного сложнее принятого здесь, а также, возможно, и того, что связь между напряжением и скоростью деформации для краски не всегда имеет принятую здесь линейную форму.

Замечание об устойчивости

Выводы из этого параграфа (и из многих последующих) должны быть дополнены замечанием, что многие встречаемые на практике установившиеся течения одного направления при некоторых условиях оказываются неустойчивыми. Простое течение Пуазейля в действительности было первым полем течения, которое систематически используется для исследования явления гидродинамической неустойчивости. Рейнольде в 1883 г. установил экспериментально, что если объемный поток жидкости через трубу достаточно мал, то описанное выше поле течения реализуется, а случайные возмущения погашаются; однако при более высоких скоростях в потоке появляются перемежающиеся колебания, и в конце концов он превращается в неустановившееся и сильно нерегулярное течение (это явление называется турбулентностью). Условия, при которых различные установившиеся течения одного направления устойчивы и, следовательно, могут существовать на практике, во всех случаях точно неизвестны, хотя вообще верно то, что эти течения устойчивы для достаточно малых значений безразмерного параметра (числа Рейнольдса), где соответственно характерные скорость и поперечный размер рассматриваемого течения. Рейнольде оценил критическое значение этого параметра для течения Пуазейля (для которого диаметр трубы, средняя скорость в ее поперечном сечении) величиной приблизительно 6400, что соответствует наблюдению установившегося течения воды при для значений меньших Таким образом, здесь, как и в других случаях, условия существования устойчивого установившегося течения таковы, что они встречаются в природе и в лаборатории, так что полученные выше решения имеют практическую ценность; в то же время необходимо знание свойств и турбулентного течения, которое возникает в условиях неустойчивости установившихся течений; однако этот вопрос в данной книге не рассматривается.