Безвихревое соленоидалъное течение вблизи критической точки

В качестве простого примера распределения скорости, удовлетворяющего уравнениям (2.7.1), рассмотрим условия в

окрестности точки О, где Такая точка обычно называется критической и может возникнуть внутри жидкости или на ее границе. Потенциал скорости имеет конечные и непрерывные производные вблизи точки О, если только она не есть точка границы, в которой имеется геометрическая особенность; следовательно, функция может быть разложена в окрестности точки О в ряд Тейлора в прямоугольной системе координат с началом в точке О:

где а тензор симметричен. Поскольку в точке О, все коэффициенты обращаются в нуль, и поскольку всюду, то Таким образом, движение вблизи точки О оказывается чисто деформационным движением без изменения объема, характеризуется с точностью до малых порядка тензором скоростей деформаций и линейным распределением скорости

Из этого следует, что через точку О проходят три ортогональные прямые, параллельные главным осям тензора на каждой из которых скорость параллельна этой прямой; к точке О подходят и от нее отходят по крайней мере по одной линии. Линия тока, проходящая через точку О, в общем случае, очевидно, имеет три ортогональные ветви. Если воспользоваться осями, параллельными главным осям тензора и в качестве координат взять х, у, z, то получим соответствующие компоненты скорости

где константы, связанные с полем течения, частью которого является окрестность точки О.

Когда течение вблизи точки О либо двумерное, либо осесимметричное, его также можно описать с помощью функции тока (§ 2.2). Очевидно, что в случае двумерного течения с осями, параллельными главным осям тензора скоростей деформаций в точке О, в ее окрестности

где k — постоянная. Линии тока вблизи точки О представляют собой равнобочные гиперболы, каждая из которых имеет асимптотами две ортогональные ветви линии тока, проходящей через точку О, как показано на рис. 2.7.2; эквипотенциальные линии образуют идентичное и ортогональное семейство с асимптотами, наклоненными под углом 45° к осям координат. Подобным же

Рис. 2.7.2. Линин тока двумерного безвихревого соленоидального течения вблизи критической точки,

образом в осесимметричном течении вблизи точки О в цилиндри ческой системе координат

В этом случае каждая линия тока расположена в плоскости, проходящей через ось симметрии, и картина линий тока в каждой такой плоскости имеет такой же вид, что и на рис. 2.7.2.

Полученные результаты применимы к критической точке на границе течения при условии, что в этой точке нет геометрической особенности; касательная плоскость к границе в точке О содержит две главные оси тензора скоростей деформаций в этой хочке. Например, на рис. 2.7.2 оси х или у могут быть границей. С другой стороны, полученные результаты неприменимы, если критическая точка совпадает с точкой, в которой касательная к границе претерпевает разрыв, например с вершиной конической или клиновидной границы. В таком случае некоторые ветви линии тока, проходящие через критическую точку, должны совпадать с границей и поэтому должны пересекаться с ней под углами, определяемыми формой границы.