5.12. Струи, свободные слои смешения и следы

Обтекаемые жидкостью твердые стенки являются наиболее распространенным источником завихренности; при достаточно большом числе Рейнольдса на них образуются пограничные слои. Однако для применения идей и приближений теории пограничного слоя вовсе не обязательно наличие твердых стенок в рассматриваемой области жидкости. Имеются три вида установившихся течений, в которых, несмотря на отсутствие твердых стенок, могут быть относительно большие градиенты завихренности в поперечном направлении; сюда относятся: а) узкие струи, в которых значительные градиенты завихренности возникают при истечении из отверстия, а полное изменение скорости поперек

струи остается нулевым; б) свободные слои смешения (сдвига), которые представляют собой переходные слои на общей границе двух потоков жидкости при различных скоростях течения; в) следы, которые образуются под действием завихренности, переносимой вниз по потоку от обтекаемого тела; полное изменение скорости поперек следа снова равно нулю. Эти три вида течений, имеющих сходство с пограничным слоем, будут сейчас кратко обсуждены.

Узкие струи

В § 4.6 мы получили точное решение полного уравнения движения для установившейся струи, задаваемой особой точкой, в которой непрерывно образуется количество движения (не масса) жидкости. Это течение можно рассматривать как некоторую идеализацию реального истечения жидкости с большой скоростью из малого отверстия. В этом частном случае нет необходимости обращаться к приближенным уравнениям движения, а будет полезно кратко остановиться на том, каким образом указанное решение полных уравнений движения связано с решением, которое можно получить из уравнений пограничного слоя.

Для установившегося течения в осесимметричной струе, описываемого соотношениями (4.6.1), (4.6.2) и (4.6.10), соответствующее число Рейнольдса на заданном расстоянии от отверстия равно

максимальная радиальная скорость, а — полуширина струи, половина угла раствора конической границы струи. Это число Рейнольдса не зависит от расстояния (и соответствует числу Рейнольдса из § 4.6 для течения непосредственно у отверстия при большом значении так что те следствия, которые получаются при большом числе Рейнольдса, применимы на любых расстояниях от отверстия. Указанное выше число Рейнольдса велико и в случае узкой струи имеет порядок это как раз те условия, при которых приближения пограничного слоя могут оказаться пригодными. Жидкость, окружающую узкую струю, можно считать приближенно покоящейся при постоянном давлении, так что подходящим уравнением движения типа уравнений пограничного слоя будет просто осесимметричный вариант уравнения (5.7.1), в котором нужно положить Это уравнение фактически имеет решение (4.6.15), что было показано Шлихтингом (1933) еще до того, как стало известно, что (4.6.15) является асимптотической формой (при ) решения полного уравнения движения.

Для установившегося двумерного движения жидкости, вытекающей из отверстия в форме длинной щели, еще не получено

решения полного уравнения движения, поэтому необходимо обратиться к приближенным уравнениям. Как и в случае осесимметричной струи, давление в окружающей жидкости близко к стационарному значению, жидкость однородна и уравнение пограничного слоя (5.7.1) принимает вид

здесь положительное направление оси х совпадает с направлением полной силы, действующей на жидкость в начале координат. Для быстрых узких струй действующая сила определяется главным образом потоком количества движения через некоторую поверхность, окружающую начало координат. Выберем поверхность, которая пересекается с плоскостью (х, у) по прямой и по полуокружности большого радиуса, лежащей в основном в области отрицательных значений х; тогда для силы действующей на жидкость в расчете на единицу длины щели, имеем

Этот интеграл не должен зависеть от х, поскольку выбор поверхности, окружающей щель, произволен.

Удобно ввести функцию тока положив так что уравнение сохранения массы будет выполняться тождественно. Ввиду труднрсти решения дифференциальных уравнений в частных производных вида (5.12.1) мы выясним сначала, существуют ли решения уравнения (5.12.1), зависящие от некоторой комбинации двух независимых переменных. Подходящая гипотеза состоит в данном случае в том, что профили скорости в сечениях струи при различных значениях х имеют одну и ту же форму; это означает, что решение имеет автомодельную форму

где неизвестные числа. Непосредственно из вида уравнения (5.12.1) следует, что а в силу независимости интеграла (5.12.2) от х получаем так что мы должны взять

Таким образом, наша гипотеза сводится к тому, что

где множитель введен для удобства выкладок в дальнейшем. Перепишем теперь уравнение (5.12.1) в виде

Проверка нашей гипотезы состоит в том, сможем ли мы найти решение этого уравнения, удовлетворяющее условиям

и условию симметрии Таким решением является

где а — некоторая постоянная, определяемая из соотношения (5.12.2), которое теперь запишется так:

Как и для круглой струи, поток массы в особой точке течения равен нулю.

Таким образом находится решение для двумерной узкой струи с профилем скорости в виде и шириной, возрастающей как а единственное ограничение, состоящее в том, что решение имеет предполагаемую подобную форму, не позволяет использовать его для определения развития струи, имеющей заданный профиль скорости при некотором начальном значении х. Однако это не очень большой недостаток, если, как это часто бывает для автомодельных форм, полученное выше решение приближается асимптотически при к решению при произвольном профиле скорости в некоторой начальной точке х. Справедливость этого была подтверждена измерениями Андраде (1939), который нашел, что распределение скорости в струе жидкости, вытекающей из узкой длинной щели под действием давления, подобно вычисленному по (5.12.5).

Число Рейнольдса для струи на расстоянии х от начала, определенное, как и выше, по максимальной скорости и ширине струи, равно

Это соотношение верно с точностью до множителя порядка единицы, зависящего от того, насколько точно определена ширина струи. Критерием применимости приближенных уравнений пограничного слоя для описания течения в струе является условие малости угла расширения струи, т. е. условие

Таким образом, полученное решение становится более точным при возрастании х для заданного значения несмотря на то, что вблизи начала струи всегда существует область, в которой уравнения пограничного слоя непригодны. Непригодность решения вблизи несущественна, поскольку профили скорости реальных струй вблизи отверстия в любом случае не похожи на профили, определяемые по (5.12.5). Когда профиль скорости струи при достаточно большом х принимает форму, соответствующую (5.12.5), дальнейшее развитие струи с расстоянием вниз по потоку будет происходить точно так же, как если бы она начинала развиваться от некоторой условной точки в соответствии с уравнениями пограничного слоя и имела автомодельный профиль скорости непосредственно у начала координат.

Как двумерные, так и трехмерные струи становятся неустойчивыми, если числа Рейнольдса превосходят некоторое критическое значение, и тогда ламинарное установившееся течение превращается в турбулентное, имеющее тот же струйный вид, правда, с большей скоростью расширения. Ввиду того что число Рейнольдса какой-либо части двумерной струи непрерывно увеличивается с возрастанием х, эта струя обязательно становится турбулентной на некотором расстоянии от отверстия; действительно, как показывает практика, лишь в очень малом интервале значений х двумерная струя устойчива и описывается уравнениями ламинарного пограничного слоя.