Сила, действующая на тело при его поступательном движении

Рассмотрим полную силу действующую в данный момент со стороны окружающей жидкости на тело, движущееся без вращения. Эта сила возникает от давления на поверхности тела, и с помощью интеграла (6.2.5) можно написать

где интегралы берутся по неподвижной поверхности А, которая в данный момент времени совпадает с поверхностью тела. Последний интеграл в (6.4.20) представляет собой силу плавучести (архимедову силу), действующую на тело (§ 4.1), и в дальнейшем мы будем им пренебрегать.

Производная отлична от нуля и для тела в установившемся поступательном движении, поскольку используется система координат, неподвижная в жидкости на бесконечности, и положение тела изменяется относительно нее. Функции в выражении (6.4.10) — неизвестные функции от где мгновенный радиус-вектор некоторой точки тела, так что

Скорость может зависеть от t, хотя зависимость х от времени в полностью безвихревом течении, согласно теореме Кельвина о циркуляции, исключается. Тогда из выражения (6.4.10) следует, что при скорость изменения потенциала в точке, фиксированной по отношению к жидкости на бесконечности, равна

где

Теперь выражение для силы (6.4.20) (без учета силы плавучести) записывается так:

Первый из двух членов в правой части отличен от нуля только при в то время как значение второго члена от изменения не зависит. Таким образом, первый член можно назвать реакцией на ускорение тела, а второй член представляет собой силу, действующую на тело в установившемся движении. Обсуждение первого члена на некоторое время отложим.

Чтобы получить определенные выводы о силе, которая остается при постоянной скорости поступательного движения, проведем в жидкости поверхность которая охватывает тело в данный момент времени, и свяжем интегралы по замкнутым поверхностям с интегралами по объему V, ограниченному этими поверхностями. Тогда, обозначив через внешнюю нормаль к обеим поверхностям, имеем

и поскольку есть скорость безвихревого соленоидального потока, то

Величина скорости в трехмерном поле имеет по крайней мере порядок а в двумерном — порядок когда велико; следовательно, специальный выбор поверхности в виде сферы или окружности достаточно большого радиуса показывает, что интеграл по поверхности в правой части тождественно равен нулю. Следовательно,

и на тело в установившемся движении действует сила

где по-прежнему произвольная поверхность в жидкости, окружающая тело.

Очевидно, что т. е. жидкость не оказывает сопротивления установившемуся поступательному движению тела; таким

образом, имеем результат (парадокс Даламбера), уже полученный в § 5.11 из энергетических соображений с меньшей степенью общности.

Существование компоненты силы по нормали к скорости в случае твердого тела конечных размеров в трехмерном поле также можно исключить, поскольку на больших расстояниях от тела имеет порядок и специальный выбор поверхности в виде сферы большого радиуса показывает, что выражение (6.4.25) в целом равно нулю.

В двумерном поле на больших расстояниях от тела и при ненулевой циркуляции вокруг него имеет порядок интегралы в (6.4.25) могут не обращаться в нуль; выбирая поверхность в виде окружности большого радиуса и используя на ней асимптотическое выражение

получим формулу для компоненты силы в направлении оси у (вектор имеет величину и направлен параллельно оси х, рис. 6.4.1):

Эта замечательная формула для боковой (или подъемной) силы, действующей на тело, которая возникает из объединенного эффекта поступательного движения тела и циркуляции вокруг него и которая явно не зависит от размера, формы и ориентации тела, лежит в основе теории подъемной силы крыльев самолетов. Формула (6.4.26) связана с именами Кутта (1910) и Жуковского — пионеров научного исследования в аэронавтике ). Следует отметить (см. рис. 6.4.1), что направление результирующей силы, действующей на тело, получается путем вращения вектора скорости тела относительно жидкости на бесконечности на 90° в направлении циркуляции скорости.

Мы получим более глубокое представление о механизме этой боковой силы путем применения теоремы о количестве движения, которую фактически использовал Жуковский при установлении формулы (6.4.26). Предположим, что тело движется равномерно, и чтобы получить установившееся течение (это удобно для применения теоремы о количестве движения), выберем оси координат, движущиеся вместе с телом и с началом координат внутри него. Скорость в любой точке жидкости относительно этих новых осей равна где как и раньше, — скорость по отношению к жидкости на бесконечности. Контрольная поверхность

Рис. 6.4.1. Схема к расчету силы, действующей на тело в установившемся поступательном движении при двумерном поле скоростей. 1 — направление результирующей силы, действующей на тело; 2 — направление циркуляции скорости вокруг тела; 3 — направление движения тела.

состоит из границы тела А и окружности большого радиуса с центром в начале координат с внешней нормалью к обеим замкнутым кривым. Полная величина количества движения жидкости внутри контрольной поверхности постоянна, так что сила, действующая на тело, определяется формулой

в которой первый интеграл представляет собой поток количества движения через контрольную поверхность в направлении внешней нормали. Давление в потоке определяется интегралом Бернулли

Поскольку на больших расстояниях от начала координат имеет порядок то под интегралами в выражениях (6.4.27) нет необходимости сохранять квадратичные по и члены; кроме того, Следовательно,

что повторяет формулу (6.4.26). Из вычислений при выводе этой формулы видно, что боковая сила, испытываемая цилиндром, определяется в жидкости на достаточном удалении от тела наполовину потоком количества движения и наполовину распределением давления.

Следует напомнить, что все полученные результаты о силе, действующей на тело в установившемся поступательном движении, применимы в равной мере ко второй из двух частей общего выражения (6.4.23) для силы, действующей на тело, скорость которого изменяется.

Аналогичный анализ можно провести для момента силы, приложенного со стороны жидкости к телу, которое вращается вокруг неподвижной точки. Основной результат состоит в том, что, когда угловая скорость постоянна, компонента момента, параллельная вектору (это его единственная компонента в случае двумерного поля), равна нулю; этот результат следует ожидать на основании, что при постоянной угловой скорости кинетическая энергия жидкости не изменяется, хотя это последнее рассуждение не вполне удовлетворительно, поскольку при ненулевой циклической постоянной кинетическая энергия теоретически бесконечна. Случай сложного поступательного и вращательного движений тела более труден из-за непрерывного изменения направления скорости относительно тела.