Скорости изменения субстанциональных интегралов

Криволинейный интеграл от какой-нибудь величины по жидкой линии, которая движется вместе с жидкостью и состоит всегда из одних и тех же частиц, можно назвать субстанциональным интегралом. Интегралы по поверхности и по объему также могут быть субстанциональными в том же самом смысле. Такие интегралы часто встречаются в механике жидкости, иногда из-за необходимости представить полное количество какой-нибудь величины, связанной с данной массой жидкости, а также из-за необходимости определения скорости изменения этого количества во времени. Ниже обосновывается простой непосредственный метод вычисления скоростей изменения субстанциональных интегралов, который будет использоваться в дальнейшем.

Рассмотрим сначала криволинейный интеграл

по жидкой линии, соединяющей две точки жидкости, где некоторая переменная в жидкости, обычно зависящая от радиуса-вектора х и времени Если жидкая кривая определена, то интеграл зависит только от времени его производная по времени будет связана как с изменениями величины в точках пути интегрирования, так и с изменениями формы и ориентации этого пути. Чтобы определить влияние изменения формы и ориентации пути интегрирования, предположим, что криволинейный интеграл определяется в некоторый момент времени обычным способом как предел при суммы слагаемых от большого числа бесконечно малых отрезков длиной Если эти отрезки, элементы линии интегрирования, рассматриваются далее как элементы жидкости, то они будут изменяться в процессе движения вместе с жидкостью, однако тем не менее их все же можно продолжать использовать

для построения суммы, предел которой при определяет интеграл в любой последующий момент времени. Длины элементсв линии изменяются со временем, но все они остаются пропорциональными и бесконечно малыми, если никакой из них не испытывает бесконечного расширения в течение рассматриваемого интервала времени. В связи со сказанным напишем

где величина вычисляется для элемента жидкой линии, и, таким образом, ее производную по времени следует представлять как полную, Тогда из равенства (3.1.3) следует, что о

Представление интеграла в виде предела суммы слагаемых от элементов жидкой линии, соединяющей точки является только промежуточным этапом в рассуждении, и для наших целей можно считать, что два члена в выражении (3.1.9) получены непосредственно дифференцированием подинтегрального выражения 9 (производимым в движущейся точке) и элемента интегрирования 61.

Другой путь, приводящий к выражению (3.1.9), который не так тесно связан с физическими представлениями, основан на параметрическом задании жидкой линии интегрирования. Пусть мгновенное положение точки на кривой, задаваемое параметром который, например, может быть равен расстоянию от точки вдоль кривой интегрирования в некоторый начальный момент времени. Тогда можно написать

Дифференцирование по выполняется обычным способом:

поскольку же производная равна скорости жидкости и в точке у, то

Эти два интеграла совпадают с интегралами в правой части равенства (3.1.9), записанными в параметрическом виде.

Та же методика дифференцирования субстанционального элемента интегрирования с использованием соотношений (3.1.5) и (3.1.1) может быть применена при вычислении скоростей изменения субстанциональных интегралов по жидкой поверхности и по жидкому объему, а именно

и

Другая полезная форма этого соотношения получается после замены скалярной величины на и упрощения его правой части с помощью уравнения сохранения массы (2.2.3):

Конечно, соотношение (3.1.12) можно рассматривать как прямое следствие постоянства массы элемента жидкости. Эти результаты опять же можно получить другим и теперь более длинным путем, заменяя переменные интегрирования параметрическими координатами, задающими положение точки в области интегрирования в начальный момент времени.