4.8. Поля течений, в которых силы инерции пренебрежимо малы

Как уже отмечалось, наличие нелинейного члена в выражении для ускорения создает большие трудности при решении уравнения движения для любых течений, за исключением простейших. К счастью, в некоторых условиях, представляющих практический интерес, нелинейный член хотя и не равен нулю, однако настолько мал, что в первом приближении им можно пренебречь. Если, кроме того, течение установившееся или почти установившееся, такое, что модуль производной ненамного больше модуля то полная сила инерции всюду мала по сравнению с силами давления или вязкости. Этот и следующий параграфы будут посвящены случаям, в которых силы инерции пренебрежимо малы при условиях, которые еще нужно будет определить; более трудные случаи течения, когда силами инерции пренебрегать нельзя, будут изучены в следующей главе.

Когда сила инерции всюду незначительна, основными уравнениями становятся

Если в основные граничные условия (имеются в виду условия, которые вызывают движение жидкости) входит только скорость и, задача сводится к нахождению решения уравнений

причем давление определяется из уравнения (4.8.1). Если, наоборот, основные граничные условия выражены только через давление, то необходимо решать уравнение

и тогда скорость течения находится из уравнения (4.8.1) с использованием (4.8.2). В любом случае распределения давления

и скорости и не зависят от коэффициента вязкости который определяет только соотношение между скоростью и давлением (точнее, избыточным давлением Выводы предыдущего параграфа относительно общей формы решения, очевидно, сводятся здесь к тому, что решение должно иметь вид

если основные граничные условия содержат только и, или

если основные граничные условия содержат только давление Безразмерные параметры в решении должны зависеть только от геометрической формы границ течения.

Течение в каналах слабо изменяющейся формы

В этом первом примере нелинейный член уравнения движения оказывается всюду малым, так как по существенно геометрическим причинам скорость и изменяется вдоль линий тока очень медленно. В случае течения в цилиндрической трубе под действием разности давления на ее концах член тождественно равен нулю; если теперь поперечное сечение трубы изменяется вдоль ее длины, произведение но, так как сила вязкости для цилиндрической трубы не равна нулю, всегда можно сделать отношение модуля к силе вязкости пренебрежимо малым, выбирая достаточно малое изменение поперечного сечения трубы по ее длине.

Рассмотрим сначала простой случай установившегося течения в круговой трубе, радиус которой а медленно изменяется по координате х вдоль ее оси. На концах трубы поддерживается постоянная разность давлений и возникающий градиент давления — будет также медленно изменяться по х. В окрестности любого сечения например, в пределах нескольких радиусов трубы вверх и вниз по потоку, радиус трубы и осевой градиент давления можно считать приближенно постоянными, равными соответственно и поэтому приближенно можно воспользоваться выражением осевой скорости, полученным в пренебрежении силой инерции (см. (4.2.5)):

где расстояние вдоль радиуса от оси трубы. Тогда, если постоянный объемный расход жидкости вдоль трубы,

то выражение (4.8.7) можно представить в виде

Линии тока не идут строго в одном направлении, а наклонены к оси под малым углом, величина которого имеет порядок поэтому кроме осевой компоненты скорости и существует и радиальная компонента скорости порядка а и. Из формулы (4.8.8) следует, что

так что если заданы давления в двух сечениях трубы и известна геометрическая форма трубы, то можно вычислить объемный расход а затем и градиент давления

Очевидно, что выражение (4.8.9) будет хорошим приближением при достаточно малых значениях а и можно отыскать специальное условие для его выполнения, используя само выражение (4.8.9) для оценки величины пренебрегаемой силы инерции. Из выражения (4.8.9) следует, что характерное значение вели чины каждого из членов равно С другой стороны, для силы вязкости сохраняемой в уравнении движения, мы имеем характерную величину показывающую, что решение (4.8.9) согласуется с пренебрежением силой инерции, если

Подобные простые соотношения применимы и к установившемуся течению между двумя непараллельными плоскостями, и из точного решения основных уравнений движения для этого случая, которое будет описано в § 5.6, непосредственно получается приближенное решение, аналогичное решениям (4.8.7) или (4.8.9), когда удовлетворяется условие (4.8.10).

Такого рода приближение, какое было использовано при получении решения (4.8.7), а именно предположение о том, что ширина канала и градиент давления локально постоянны, полезно во многих случаях. Когда движущаяся жидкость находится между двумя границами, разность скоростей в соседних точках на двух границах является еще одним, третьим параметром,

который может медленно изменяться с изменением координат, как, например, в течении между двумя близкими друг к другу дисками, один из которых вращается в своей плоскости, или в слое смазки, который рассматривается ниже. Некоторые случаи, в которых условия течения в канале медленно изменяются с течением времени, как, например, когда два плоских диска прижимаются друг к другу и жидкость между ними вытекает в радиальных направлениях, также можно рассматривать в указанном приближении. Во всех таких случаях силы вязкости преобладают в связи с большими градиентами скорости, определяемыми поперечными размерами области течения, а силы инерции зависят от производных скорости, определяемых относительно большей длиной (расстоянием вдоль линии тока, на котором заметно изменяются параметры канала) или большим промежутком времени.