1.4. Механическое равновесие жидкости

Твердое тело находится в равновесии, если результирующая сила и результирующая пара сил, приложенные к нему со стороны внешних тел, равны нулю. Условия равновесия жидкости менее просты, так как различные части жидкости могут находиться в относительном движении, и поэтому каждая из них должна быть в равновесии.

Силы, действующие на какую-либо данную часть жидкости, как отмечалось в предыдущем параграфе, представляют собой объемные силы, возникающие под воздействием внешних тел, и поверхностные силы, приложенные к границе жидкости со стороны окружающей ее среды. Эти объемные и поверхностные силы должны находиться в равновесии, если жидкость сохраняет состояние покоя. В обозначениях предыдущего параграфа полная массовая сила, действующая на жидкость, расположенную внутри некоторого объема V, определяется интегралом

в котором как плотность так и сила могут быть функциями координат.

Полная поверхностная сила, действующая со стороны окружающей жидкости на поверхность А, ограничивающую объем V (если жидкость неподвижна), равна

где в общем случае зависит от радиуса-вектора х и вектора единичной внешней нормали к поверхности А. Этот интеграл можно преобразовать в интеграл по объему V с помощью теоремы Остроградского — Гаусса и получить интеграл по объему Следовательно, необходимое условие равновесия жидкости заключается в том, что

для любого объема V, лежащего целиком в жидкости, а это возможно только в том случае, когда подинтегральное выражение (предполагаемое непрерывным по х) равно нулю всюду внутри жидкости. Таким образом, необходимое условие равновесия состоит в том, что

всюду внутри жидкости.

Если условие (1.4.1) справедливо при любом выборе объема V, то результирующая сила, действующая на каждый элемент жидкости, равна нулю. Кроме того, использование симметричного

тензора напряжений гарантирует, что пара сил, приложенная к каждой части элемента объема жидкости, равна нулю, так что если (1.4.2) удовлетворяется, то, как легко проверить непосредственно, результирующая пара сил, действующая на жидкость внутри объема V произвольной формы и величины, равна нулю (при отсутствии какой-либо пары массовых сил, действующих на жидкость). Поэтому (1.4.2) является необходимым и достаточным условием равновесия жидкости. В случае твердого тела, для которого касательные напряжения не обязательно равны нулю, соответствующее условие определяется уравнением типа (1.4.2), в котором компонента его правой части имеет более общий вид

Ограничение, накладываемое уравнением (1.4.2), состоит в том, что только для определенных распределений плотности и силы т. е. таких, для которых произведение (массовую силу на единицу объема) можно записать в виде градиента скалярной величины, существует распределение давления, удовлетворяющее уравнению (1.4.2). В том случае, когда распределение величины действительно имеет форму, требуемую для равновесия, давление постоянно на любой поверхности, повсюду нормальной к массовой силе.

Ограничение, накладываемое на плотность и силу принимает более специальную форму в общем случае, в котором массовая сила на единицу массы консервативна и может быть записана в виде — где — потенциальная энергия на единицу массы, связанная с этим полем. В этом случае условие равновесия сводится к уравнению

или — после применения оператора ротора к его обеим частям —

Таким образом, поверхности постоянного уровня величин должны совпадать, и когда это условие удовлетворяется, они представляют собой также поверхности постоянного уровня для давления и можно написать

Частный случай, при котором всюду имеет одно и то же направление, так что постоянны на каждой из некоторого семейства параллельных плоскостей, имеет место при изучении земной атмосферы.

Плотность элемента жидкости может изменяться под влиянием приложенного давления, а также под влиянием других параметров, поэтому дальнейшее обсуждение применимости уравнения (1.4.3) требует дополнительных сведений о плотности

Однако в случае жидкости с постоянной плотностью решение уравнения (1.4.3) имеет простой вид

где константа.

Тело, плавающее в покоящейся жидкости

Общее представление о плавании связано с твердым телом, частично погруженным в покоящуюся тяжелую жидкость со свободной горизонтальной поверхностью, хотя этот термин можно использовать и в более общем смысле. Говорят, что тело плавает, когда оно целиком погружено в жидкость (это может быть собственно жидкость или газ, обеспечивающие частичное погружение в обычной терминологии) и когда и тело, и жидкость находятся в состоянии покоя под действием объемных сил.

Основной результат для плавающего тела выражается законом Архимеда, который обычно формулируется и доказывается для случая тела, поддерживаемого в жидкости выталкивающей силой, создаваемой действием силы тяжести на однородную жидкость. Это наиболее важная область приложения закона Архимеда, однако представляет некоторый интерес и более общая его форма, устанавливаемая ниже. Предположим, что тело объема V, ограниченное поверхностью А, погружено в жидкость и что тело и жидкость находятся в покое. Результирующая сила, действующая на тело и обусловленная только наличием жидкости, равна

где внешняя нормаль к поверхности тела. Давление в жидкости определяется условием равновесия (1.4.2), и, используя обычную форму закона Архимеда, воспользуемся условием (1.4.2), чтобы выразить эту результирующую псверхностную силу через полную объемную силу, действующую на жидкость, если бы она заполнила пространство, занятое телом. Нам нужно узнать, каким образом жидкость может заменить тело, не нарушая равновесия и не изменяя условий в окружающей жидкости.

Определенный ответ можно дать в том случае, когда где заданная функция координат в пространстве. Поверхности постоянного уровня функции можно продолжить через область, занятую телом; постоянное значение, которое плотность должна принимать на каждой поверхности уровня чтобы жидкость в этой области находилась в состоянии равновесия, совпадает со значением плотности на той же самой поверхности уровня вне этой области. Другими словами, мы получили поле плотности жидкости, которая может заполнить пространство, занятое телом.

(страница отсутствует)

Рис. 1.4.1. Неоднородная жидкость в состоянии покоя под действием силы тяжести и центробежной силы. 1 — поверхности уровня ; 2 - направление увеличения плотности ; 3 - равновесное положение однородного шара; 4 — положение шара, в котором он вытесняет равновеликую массу жидкости.

Если теперь твердое тело (например, шар постоянной плотности) погружено в жидкость в этом вращающемся сосуде и находится в нем в состоянии покоя относительно стенок, то жидкость будет оказывать выталкивающее действие на это тело. Возникает вопрос: может ли выталкивающая сила уравновешиваться такими же объемными силами (силой тяжести и центробежной силой), действующими на само тело? Другими словами, если тело помещено в определенном положении в жидкость, будет ли оно оставаться в этом положении? Нужно найти такое положение центра шара, чтобы он вытеснял равную своей массу жидкости, чему (приближенно) соответствует некоторое значение функции (рис. 1.4.1); кроме того, в указанном положении шара на вытесненную им жидкость и на шар должна действовать одна и та же центробежная сила. Очевидно, что такое положение невозможно на любом расстоянии от оси вращения, так как вследствие наклона поверхностей одинаковой плотности на вытесненную шаром жидкость, если она имеет такую же массу, как и шар, действует большая центробежная сила. Следовательно, однородный шар будет смещаться в направлении оси параболоида вращения (на котором он должен находиться, чтобы вытеснить равновеликую массу жидкости) и придет в состояние покоя только на оси параболоида. Такое же рассуждение справедливо и для шара на свободной поверхности вращающейся жидкости, как для частного случая распределения плотности в зависимости от

С другой стороны, если плотность шара неодинакова, например, одна сторона шара тяжелее, то возможно, что полная центробежная сила, действующая на шар, будет больше силы, действующей на вытесненную им жидкость такой же массы; в этом случае шар будет двигаться в сторону от параболоида вращения, пока не достигнет стенки сосуда.

Покоящаяся жидкость под действием силы тяжести

Случай, когда на жидкость действует только сила тяжести, одновременно и важен, и прост. Можно различать два крайних состояния. В первом рассматриваемая масса жидкости велика и изолирована и силы гравитационного притяжения жидкости создают объемную силу, действующую на любой элемент жидкости, как в случае газообразной звезды. В другом крайнем состоянии рассматриваемая масса жидкости намного меньше массы окружающей ее среды и гравитационное поле в области, занятой жидкостью, приближенно однородно.

В случае самотяготеющей жидкости имеем где гравитационный потенциал связан с распределением плотности уравнением

здесь гравитационная постоянная. Из уравнения (1.4.6) и условия (1.4.3) получаем уравнение для давления в покоящейся жидкости

Кроме того, необходимо, как установлено ранее, чтобы поверхности постоянного уровня функций совпадали. Записывая дифференциальный оператор в уравнении (1.4.7) в криволинейных координатах (не обязательно ортогональных), так чтобы поверхности уровня совпадали с однопараметрическим семейством поверхностей, видим, что класс решений сильно ограничен. Строгое перечисление возможных решений затруднительно, но единственно возможными, по-видимому, будут решения, в которых плотность и давление зависят только от 1) одной координаты прямоугольной системы координат, или 2) радиальной координаты цилиндрической системы координат, или 3) радиальной координаты сферической системы координат, что соответствует симметричным «звездам» в одном, двух или трех измерениях.

В последнем случае, описывающем сферически симметричные распределения плотности и давления, уравнение (1.4.7) принимает вид

Для отыскания решения теперь нужны дополнительные данные о распределении плотности. В реальных звездах плотность в общем случае зависит не только от давления однако решения уравнения (1.4.8), соответствующие некоторому предполагаемому простому соотношению между иногда полезны для сравнения с более сложными моделями. Если предположить, например, что

то уравнение (1.4.8) можно проинтегрировать численно для любого значения Можно также получить два важных аналитических решения. Если взять соответствующее жидкости постоянной плотности, например то

где можно интерпретировать как внешнюю границу звезды. Если то можно проверить, что

в этом случае давление и плотность для любого не обращаются в нуль и не существует никакой определенной внешней границы, хотя полная масса звезды конечна.

В случае постоянной массовой силы, создаваемой силой тяжести, имеем

и для давления в покоящейся жидкости имеем уравнение

Три функции постоянны на каждой горизонтальной плоскости, нормальной к вектору следовательно, они зависят только от произведения Если ось z прямоугольной системы координат направить по вертикали вверх так, чтобы было то уравнение (1.4.10) приводится к виду

И в этом случае получается то же самое соотношение, которое можно вывести из одного только условия механического равновесия.

Когда плотность жидкости постоянна, из уравнения (1.4.11) получается линейное соотношение между давлением и высотой, хорошо известное в гидростатике

В случае земной атмосферы ее плотность уменьшается при уменьшении давления вследствие сжимаемости воздуха; хотя

в действительности обычно имеются тепловые эффекты, однозначного функционального соотношения между плотностью и давлением не существует. В качестве первого приближения, согласно закону Бойля, для совершенного гака при постоянных температуре и составе (§ 1.7) можно положить

Из уравнения (1.4.11) видно, что давление в атмосфере, для которой такое соотношение справедливо, выражается формулой

где давление на поверхности Земли при Таким образом, как давление так и плотность уменьшаются в при подъеме на высоту и постоянную можно назвать «масштабом высоты» атмосферы. Для воздуха при температуре величина равна Если температура не постоянна, отношение можно рассматривать в качестве локального масштаба. Наблюдаемые средние значения давления, плотности и температуры на различных высотах в атмосфере приведены в приложении

Упражнения

(см. скан)