4.9. Течение, вызываемое движением тела при малых числах Рейнольдса

Если тело с характерным линеёным размером d совершает установившееся поступательное движение со скоростью в ничем больше не возмущенной жидкости, то представляют собой характерную длину и скорость поля течения в целом. Поэтому силы инерции жидкости должны иметь порядок а силы вязкости — порядок Отношение этих двух величин и поэтому при силами инерции можно пренебречь. Приступим к исследованию поля течения в этом предположении, сознавая, что полученное таким образом решение должно быть проверено на соответствие с начальным предположением. Движение тела через жидкость при малом числе Рейнольдса (обычно из-за весьма малого размера тела) представляет собой задачу, которая важна при изучении многих явлений, таких, например, как выпадение осадка в жидкости или падение капель тумана в воздухе. Величиной, представляющей наибольший практический интерес, является сила сопротивления, действующая со стороны жидкости на тело, так как, зная эту силу, можно рассчитать в частности предельную скорость свободною падения под действием силы тяжести. Скорость тела в практических задачах не всегда постоянна, однако полученная выше оценка относительной величины сил инерции и сил вязкости остается пригодной, если только тело или окружающая его жидкость не вынуждены двигаться с ускорением, большим, чем (как может быть, например, если через жидкость проходит звуковая волна высокой частоты).

Уравнения (4.8.1) и (4.8.2) перепишем так:

где постоянное давление на достаточном удалении от тела. Из этих уравнений следует, что

Выберем систему координат, в которой жидкость на бесконечности неподвижна. Тогда граничные условия при движении твердого тела со скоростью таковы:

Из общего результата, полученного в конце предыдущего параграфа, мы видим, что существует единственное решение уравнений (4.9.1) и (4.9.2), которое может удовлетворять граничным условиям (4.9.3).

В данном случае мы будем явно использовать тот факт, что уравнения (4.9.1) и (4.9.2) и граничные условия (4.9.3) линейны и однородны по При этом выражения для также должны быть линейными и однородными относительно (Аналогичное рассуждение использовалось в § 2.9 для безвихревого течения — см. (2.9.23).)

Твердая сфера

Важный случай тела сферической формы является одним из немногих, который поддается аналитическому изучению. Поле течения, создаваемого твердой сферой при поступательном движении, было впервые определено Стоксом (1851).

Выберем начало неподвижной системы координат в мгновенном положении центра сферы радиуса а. Распределения скорости и и давления должны быть симметричными относительно оси, проходящей через центр сферы и параллельной вектору скорости а вектор и должен быть расположен в плоскости, проходящей через эту ось. Дифференциальные операторы в уравнениях (4.9.1) и (4.9.2) не зависят от выбора системы координат, так что величины и скорость и зависят от вектора х. а не от какой-либо комбинации его компонент. Параметры завершают перечень величин, от которых могут зависеть (если бы тело имело какую-либо другую форму, отличную от сферической, то следовало бы включить векторы, определяющие ориентацию тела, и скалярные параметры его формы).

Из сказанного следует, что решение должно иметь вид где безразмерная функция только от Поскольку разность давления удовлетворяет уравнению Лапласа и обращается в нуль на бесконечности, она может быть представлена в виде ряда по объемным сферическим функциям отрицательных степеней радиуса (см. (2.9.19)); указанному виду решения соответствует единственный член ряда

порядка —2 («дипольный» член). Таким образом,

где С — постоянная.

Точно такое же рассуждение применимо и к гармонической функции которая представляет собой азимутальный вектор и которая должна быть пропорциональна произведению Из уравнения (4.9.1) можно установить, что коэффициент пропорциональности равен С, так что

Скорость, соответствующую такому распределению завихренности, удобнее всего выразить через функцию тока В сферической системе координат в направлении азимутальная или -компонента вектора имеет выражение

Заменяя выражениями (2.2.14), получаем из (4.9.5) уравнение относительно

Очевидно, что частный интеграл этого уравнения пропорционален внутреннее граничное условие требует, чтобы при функция зависела от 8 таким же образом. Поэтому мы положим

Очевидно, что этому выражению отвечает вектор скорости

Уравнение для неизвестной функции принимает вид

общее решение которого

Члены, содержащие новые постоянные относятся к некоторому безвихревому движению.

Далее, согласно внешнему граничному условию, при должно быть и, согласно кинематическому условию

Рис. 4.9.1. Линии тока в осевой плоскости течения, создаваемого движущейся сферой при числе Рейнольдса (без учета сил инерции).

на поверхности сферы, Следовательно,

Остается выполнить условие прилипания на поверхности сферы, а именно

это условие удовлетворяется, если

Таким образом, получена функция тока этого течения:

Картина линий тока показана на рис. 4.9.1. Линии тока симметричны относительно центральной плоскости, нормальной к скорости что, конечно, вытекает из линейной зависимости и от изменение направления вектора скорости на обратное приводит только к изменению знака всех векторов и. Следует также заметить, что возмущение, вызванное сферой, распространяется на значительное расстояние, причем скорость при больших значениях стремится к нулю как Вследствие этого наличие внешней твердой границы, например в виде цилиндра с образующими, параллельными скорости может заметно изменить движение жидкости, даже если граница находится на расстоянии многих диаметров от сферы; подобным же образом может оказаться заметным взаимодействие между двумя сферами, движущимися на расстоянии многих диаметров друг от друга.

Эти особенности решения возникают в результате пренебрежения инерционным членом в уравнении движения. Уравнение для завихренности, показывает, что течение, соответствующее функции тока (4.9.12), вызвано по существу только лишь установившейся молекулярной диффузией завихренности

в бесконечность во всех направлениях, причем сфера оказывается источником завихренности вследствие наличия условия прилипания. Член который имеется в полном уравнении для и который отражает влияние непрерывного изменения положения сферы относительно неподвижных осей координат, в данном случае не учитывается, и вследствие молекулярной диффузии завихренность распространяется на большое расстояние одинаково как перед сферой, так и за ней; распределение завихренности таково, как если бы сфера была неподвижной и действовала исключительно как ее источник. Завихренность затухает как что и следовало ожидать для диффузии каждой компоненты вектора от неподвижного стационарного источника типа диполя (на поверхности сферы образуются равные друг другу положительная и отрицательная величины каждой компоненты вектора

Нам остается проверить, что решение, найденное в пренебрежении силами инерции, действительно согласуется с таким предположением. Согласно решению (4.9.12), сила вязкости имеет порядок Если скорость сферы строго постоянна, а изменение скорости и в фиксированной точке обусловлено просто перемещением сферы относительно этой точки, то оператор эквивалентен оператору и сила инерции имеет вид

Для первого из двух написанных членов оценка порядка его величины с использованием решения (4.9.12) дает для второго же Эти два члена вблизи сферы имеют одинаковый порядок, но вдали от сферы доминирующим оказывается первый. Таким образом, отношение порядков величин пренебрегаемых сил инерции и сохраняемых сил вязкости равно

В точках вблизи сферы полученное решение действительно пригодно, если однако силы инерции, соответствующие этому решению, становятся сравнимыми с силами вязкости на расстояниях от сферы порядка Очевидно, что решение (4.9.12) на таких больших расстояниях от сферы непригодно, хотя это само по себе может и не иметь значения, так как там скорость жидкости, силы инерции и силы вязкости — все малые величины. В самом деле, в § 4.10 мы увидим, что возможно найти распределение скорости, которое при представляет собой хорошее приближение к решению полного уравнения движения всюду в жидкости и которое совпадает с приведенным выше приближенным решением, когда отношение имеет порядок единицы.

Чтобы найти силу, действующую на сферу, определим теперь тензор напряжений при Возьмем выражение -компоненты силы, действующей на единицу площади сферы в точке

Используя формулу (4.9.7) для скорости, после небольших преобразований -компоненту напряжения можно записать так:

здесь Наконец, подстановка вместо их выражений из (4.9.4) и (4.9.9) и использование равенств (4.9.10) дают

Определив постоянную С из условия прилипания, получим

Оказывается, что вектор силы на единицу площади сферы при ее движении имеет одно и то же значение во всех точках сферы — поразительный результат, который, однако, не справедлив для тел другой формы, а также и для сферы с нетвердой поверхностью. Первый член в правой части выражения (4.9.17) — просто однородное нормальное напряжение, равное давлению в жидкости на бесконечности, и оно не дает никакого вклада в величину полной силы сопротивления, параллельной вектору скорости и имеющей величину

Выражение (4.9.18) обычно называют законом Стокса для сопротивления движущейся сферы. Общепринято выражать силы, действующие на движущиеся тела со стороны жидкости, через безразмерный коэффициент сопротивления, получаемый путем деления силы на и на площадь тела в проекции на плоскость, нормальную к вектору скорости в данном случае этот коэффициент есть

Теперь несложно рассчитать предельную скорость сферы, свободно падающей в жидкости под действием силы тяжести при выполнении закона Стокса. Принимая во внимание

Рис. 4.9.2. Сравнение наблюдаемых значений коэффициента сопротивления сферы (из работы Кастлмана (1925)) с двумя теоретическими (по закону Стокса и по второму приближению где 1 - закон Стокса; 2 — второе приближение; 3 — наблюдение.

выталкивающую силу, приложенную к сфере (§ 4.1), для предельной скорости V сферы с плотностью получим уравнение

из которого

где Соответствующее значение числа Рейнольдса для сферы, падающей с предельной скоростью, равно

Для песчинки, падающей в воде при имеем и соответственно число Рейнольдса равно где а надо брать в сантиметрах; для капли воды (считаем ее твердой), падающей в воздухе, и число Рейнольдса получается равным Условие, позволяющее пренебречь силами инерции, а именно , удовлетворяется для песчинки в воде при а 0,006 см, а для капли воды в воздухе — при а 0,004 см. Следовательно, результаты такого анализа можно применить только к весьма малым сферам. Однако, как видно из сравнения наблюдаемой и расчетной предельных скоростей сфер известного размера (см. рис. 4.9.2), закон Стокса для силы сопротивления дает удовлетворительную точность в большинстве случаев, когда и ошибку нельзя

заметить уже при Таким образом, теоретическое требование быть «малым по сравнению» на практике обычно можно заменить (по крайней мере, когда речь идет о силе сопротивления) просто требованием быть «меньше чем».

Из рис. 4.9.2 можно заметить, что кривая, соответствующая закону Стокса, расположена ниже измеренных значений сопротивления и ниже другой теоретической кривой (которая будет рассматриваться в следующем параграфе). Этого и следовало ожидать на основании общего результата, установленного в конце § 4.8; поле скоростей, полученное в пренебрежении силами инерции, сопровождается меньшей общей скоростью диссипации, чем при любом другом соленоидальном распределении скорости с теми же граничными условиями, поэтому ему соответствует меньшая величина работы, совершаемой сферой против сопротивления жидкости при данной скорости