Планетарные волны

Рассмотренное выше «течение в -плоскости» обладает интересными волновыми свойствами, которые мы сейчас изучим более внимательно. Существование волн связано с непостоянством параметра Кориолиса, поэтому не составляет особого труда выяснить общий механизм их возникновения. Когда элемент жидкости движется под некоторым углом к параллели, т. е. направление его движения образует некоторый угол с осью х на диаграмме, подобной рис. 7.7.3, величина параметра Кориолиса непрерывно изменяется в зависимости от координаты элемента жидкости. Если скорость элемента жидкости имеет компоненту в северном направлении, то параметр увеличивается и величина силы Кориолиса, действующей на элемент, возрастает. Следовательно, траектория элемента жидкости повернется вправо относительно направления его движения. Если первоначальное направление движения элемента жидкости соответствует северо-восточному квадранту, то указанный поворот траектории постепенно изменит направление движения и оно будет соответствовать юго-восточному квадранту; в результате элемент жидкости будет находиться под действием уменьшающихся значений параметра и его направление движения будет изменяться в противоположную сторону — траектория повернется налево. Таким образом, если направленное на восток течение по какой-либо причине изменило направление, то на него будет действовать сила, стремящаяся восстановить первоначальное направление движения.

Этот восстанавливающий эффект был только что обнаружен при решении задачи о восточном течении, пересекающем ступеньку, которая тянется с севера на юг, хотя решение было основано на анализе завихренности, а не количества движения жидкости и сил, действующих на нее. Существование в -плоскости

восстанавливающей силы, которая обеспечивает колебания восточного течения при обтекании фиксированного препятствия, впервые было отмечено Россби (1939) и поэтому соответствующее волновое движение обычно называют волнами Россби. Было установлено также существование подобных волновых движений в слое жидкости на вращающемся шаре (Хаурвиц (1940); Лонге-Хиггинс (1964, 1965)), и для названия этих волн используется более общий термин — планетарные волны.

Если теперь рассмотреть течение в западном направлении относительно неподвижного препятствия на земной поверхности, то окажется, что отклоняющее воздействие непостоянного параметра Кориолиса уже не будет восстанавливать первоначальное движение жидкости. Простое решение задачи о ступеньке в направлении с севера на юг на пути западного течения обнаруживает экспоненциальный рост отклонения течения от западного направления, однако можно показать, что наличие ступеньки в данном случае оказывает влияние на течение вверх по потоку, вследствие чего нарушается предположение о постоянстве скорости течения при подходе к ступеньке.

Существование синусоидальных волн с прямолинейными гребнями в плоском слое жидкости постоянной толщины при линейном изменении параметра можно продемонстрировать непосредственно. Для таких волн в жидкости (покоящейся в их отсутствии) имеем функцию тока

где волновой вектор в плоскости (х, у), а — круговая частота. Соответствующая относительная завихренность равна

и, таким образом, скорость изменения абсолютной завихренности элемента жидкости есть

Отсюда видно, что уравнение для завихренности (7.7.8) будет удовлетворено, если

Это соответствует существованию поперечных волн, для которых скорость жидкости всюду параллельна гребням волн, т. е. составляет прямой угол с волновым вектором Фазовая скорость, с которой гребни перемещаются в направлении волнового вектора, равна

Следует отметить, что волновое движение имеет установившийся характер в системе координат, перемещающейся со скоростью движущейся в западном направлении со скоростью

которая не зависит от направления волнового вектора. Кроме того, на жидкость можёт быть наложено любое количество синусоидальных волн с одинаковым волновым числом, равным поскольку уравнения (7.7.23) и (7.7.24) справедливы для системы таких волн, а отдельные вклады в правую часть уравнения (7.7.24) от различных волн обращаются в нуль, если а имеет величину (7.7.25). Следовательно, система наложенных синусоидальных волн с одним и тем же значением волнового числа формирует установившееся движение относительно системы координат, движущейся в западном направлении со скоростью

Существуют и другие движения, обладающие этим свойством. Если взять функцию тока в виде

то получим уравнение

оба члена в правой части этого уравнения обращаются в нуль, если

Рассмотрим решение этого уравнения

где функции Бесселя первого и второго рода, это решение описывает некоторое центрированное течение, скорость которого на больших расстояниях от центра уменьшается как решения подобного вида при различных значениях постоянных могут быть наложены одно на другое; ненулевые значения постоянных позволяют решать задачи с внутренней границей, внутри которой толщина слоя жидкости непостоянна. Другим решением уравнения (7.7.27) будет

где постоянные; это решение в системе координат, движущейся со скоростью с в западном направлении, дает установившееся течение в области вниз по потоку от ступеньки вдоль меридиана на дне слоя жидкости.

Общее свойство всех этих точных решений состоит в том, что течение жидкости в восточном направлении со скоростью на которое налагаются движения с характерным масштабом длины может находиться в установившемся состоянии; об этом свидетельствуют наблюдаемые отклонения восточного течения попеременно то в северном, то в южном направлениях. Можно быть уверенным, что это свойство важно для геофизических приложений, особенно для течений в атмосфере. Как установили метеорологи, направление ветра на большой высоте над поверхностью Земли в средних широтах в основном восточное, а линии тока, опоясывающие земной шар, обнаруживают крупномасштабные почти стационарные периодические отклонения от этого направления. Эти наблюдаемые волны (или меандры) могут быть вызваны горными цепями, которые играют роль препятствий на пути ветра, подобно тому как ступенька на дне слоя жидкости служила причиной возникновения волн в области вниз по потоку. Согласно данным нашего анализа, число волн при однократном обходе земного шара на широте 45° составляет около или приблизительно где выражено в Поскольку средняя скорость восточного ветра заключена обычно в пределах от 10 до то согласно нашим расчетам число волн должно быть в пределах от 5 до 8; эти значения согласуются с наблюдаемой глобальной картиной ветра.

Обсуждение крупномасштабных свойств движения в атмосфере и океане не может быть полным без учета влияния изменений плотности жидкости; однако эта задача не будет здесь обсуждаться.