Вихревые нити

Многие поля течений характеризуются тем, что в окрестности некоторой линии в жидкости значения завихренности значительно больше, чем в других местах течения (эта лини обязательно всюду параллельна вектору так как в противном случае не будет возможности удовлетворить уравнению Полезная математическая идеализация получается в таких случаях на основании предположения, что вихревая трубка, в которой сужается и превращается в кривую линию с интенсивностью вихревой трубки, сохраняющейся постоянной и равной, скажем, х. Таким образом, имеется особая линия в распределении завихренности, которая полностью определяется (поскольку речь идет о ее вкладе в поток завихренности через любую поверхность) величиной х и положением самой линии; она может быть названа вихревой нитью интенсивности х (и ее не следует смешивать с вихревой линией или линией завихренности). Соленоидальное распределение скорости, которое связано с существованием одиночной вихревой нити в жидкости, всюду в которой завихренность равна нулю, сразу находится из выражения (2.4.11). Действительно, если — векторный элемент длины вихревой нити, которая расположена в элементе объема то

Рис. 2.6.1. Соленоидальное распределение скоростей течения, создаваемого прямолинейной вихревой нитью интенсивности и,

так что выражение (2.4.11) дает

где а криволинейный интеграл берется по замкнутому пути, продолженному, если нужно, за пределы жидкости, как объяснялось в § 2.4. Соответствующее соотношение для магнитного поля, создаваемого вокруг замкнутого проводника с постоянным током, называется законом Савара.

В очень простом случае прямолинейной вихревой нити бесконечной длины (всюду вне ее завихренность нулевая) скорость всюду расположена в азимутальной плоскости относительно прямолинейной нити, ее направление соответствует положительной циркуляции относительно вихревой нити, а величина на расстоянии от вихревой нити равна (рис. 2.6.1)

можно считать, что на бесконечности два конца прямолинейной вихревой нити соединены вихревой нитью в форме, например, полуокружности радиуса поэтому добавок к скорости от этого криволинейного пути имеет порядок следовательно, им можно пренебречь. Кроме того, распределение скорости (2.6.4) можно получить и непосредственно на основании осевой симметрии распределения завихренности и применения равенства (2.6.2) к дуге окружности с центром на вихревой нити. Даже если вихревая нить искривлена, то значения скорости в точках вблизи нее будут приближенно определяться по формуле (2.6.4), так как тогда интеграл в выражении (2.6.3) в основном зависит

от близлежащего приближенно прямолинейного участка вихревой нити (см. § 7.1).

Можно также отметить, что это двумерное соленоидальное поле, связанное с прямолинейной вихревой нитью, может быть описано с помощью функции тока; сопоставляя выражения (2.2.10) и (2.6.4), видим, что

В полностью двумерном поле течения соответствующий член с особенностью называется точечным вихрем.

Другую формулу для соленоидального поля скорости, связанного с одиночной вихревой криволинейной нитью интенсивности х (всюду вне ее завихренность нулевая), можно получить, обращаясь снова к выражению (2.4.10) векторного потенциала По аналогии с теоремой Стокса для скалярной величины, интегрируемой по замкнутой кривой, имеем

где элемент площади любой открытой поверхности, ограниченной вихревой нитью. Используя тот факт, что

находим скорость

Она может быть записана в виде

где

— телесный угол, стягиваемый вихревой нитью в точке х; положительное направление нормали совпадает с положительным направлением циркуляции вокруг вихревой нити. Соответствующая формула в теории электромагнетизма также хорошо известна.

Подобно тому как точечный диполь и другие более сложные особенности строились посредством соответствующего наложения одиночных точечных источников, так и другие линейные особенности можно построить, исходя из вихревых нитей. Линейный вихревой диполь можно получить, взяв одну прямую вихревую нить интенсивности х, проходящую через точку , и

Рис. 2.6.2. Линии тока двумерного соленоидального течения, создаваемого вихревым диполем. Функция тока возрастает на одну и ту же величину между каждой парой соседних линий тока.

другую — интенсивности проходящую через точку (где через временно обозначены векторы в плоскости, нормальной к вихревым нитям), и устремив х к бесконечности, а к нулю таким образом, чтобы произведение имело конечный предел Получающееся при этом двумерное соленоидальное распределение скорости можно представить функцией тока

где Все линии тока в плоскости, нормальной вихревым нитям, — окружности, проходящие через точку х, с центрами на прямой, проходящей через ту же точку параллельно вектору X (рис. 2.6.2). Можно легко показать, что соленоидальное распределение скорости, связанное с вихревым диполем в двух

измерениях, совпадает с распределением скорости безвихревого течения, обусловленного диполем источников (в двух измерениях), расположенным в той же самой точке и перпендикулярно к вихревому диполю.