Модификация давления с учетом влияния массовой силы

Из уравнения (4.1.6) можно видеть, что если плотность однородна, то сила на единицу объема, обусловленная силой тяжести, полностью компенсируется давлением, равным Это свидетельствует о том, что можно ввести давление

где постоянная, давление, которое существует в той же массе жидкости в состоянии покоя и которое в движущейся жидкости создает градиент давления, уравновешивающий силу тяжести. Через обозначена остальная часть давления, которая возникает только под влиянием движения жидкости и которая входит в уравнение

Общепринятого названия для нет. Мы будем называть его модифицированным давлением. Следует подчеркнуть, что его

можно ввести только в том случае, когда плотность жидкости однородна, и поэтому массовая сила тяжести на единицу объема представима в виде градиента скалярной величины.

После введения модифицированного давления сила тяжести в уравнении движения больше не появляется, и если она также отсутствует в граничных условиях, то можно утверждать, что сила тяжести не оказывает влияния на распределение скорости в жидкости. Однако если в граничных условиях встречается абсолютное давление, как, например, в том случае, когда часть границы является поверхностью раздела с другой жидкостью или, в частности, свободной поверхностью, то в граничных условиях приходится использовать полное выражение для давления (4.1.7), и таким путем влияние силы тяжести снова входит в задачу. Введение модифицированного давления для жидкости с однородной плотностью полезно только в тех случаях, когда граничные условия содержат только скорость. Так будет почти всегда при рассмотрении движения воздуха; для воды это может быть и не так.

В последующих обсуждениях движений однородной жидкости, для которой в граничные условия входит только скорость и на движение которой сила тяжести поэтому не оказывает влияния и дает лишь добавок к давлению, согласно (4.1.7), мы будем вводить модифицированное давление и записывать уравнение движения в виде (4.1.8). Однако, следуя обычной практике, это модифицированное давление обозначим той же малой буквой которая в более общих условиях представляет абсолютное давление.

Условия, при которых введение модифицированного давления приносит пользу, подобны условиям, при которых выполняется закон Архимеда для движущегося в жидкости тела. Результирующая сила, приложенная со стороны жидкости к погруженному в нее телу с поверхностью А и объемом V, равна сумме величины

и слагаемого от касательных напряжений, которое зависит только от распределения скорости в жидкости. После подстановки вместо давления его выражения (4.1.7) и использования формулы Остроградского — Гаусса написанный интеграл приводится к виду

Таким образом, если модифицированное давление и распределение скорости в жидкости не зависят от действующей на жидкость силы тяжести, а это будет в том случае, когда в граничные условия не входит абсолютное давление, все влияние силы тяжести

на жидкость, поскольку речь идет о силовом воздействии на погруженное тело, заключается в том, что тело испытывает потерю веса, равную весу жидкости, вытесненной этим телом. Можно также показать, что пара сил, приложенная к погруженному в жидкость телу и возникающая под влиянием действия силы тяжести на окружающую тело жидкость, равна по величине и противоположна по знаку паре сил, которую сила тяжести развивает в вытесняемой жидкости. Следовательно, свободное твердое тело, погруженное в жидкость, будет двигаться независимо от действия силы тяжести, если только оно имеет ту же массу и то же положение центра масс, что и вытесненная жидкость.

Существуют аналогичные, хотя и менее важные результаты, касающиеся влияния установившегося вращения на двумерное поле течения. Если движение жидкости рассматривается в ускоренно движущейся системе координат, то форма уравнений движения изменяется лишь за счет добавления массовых сил инерции, согласно выражению (3.2.9). В случае прямоугольной системы координат, вращающейся с постоянной угловой скоростью относительно оси z, результирующая этих сил на единицу массы расположена в плоскости (х, у) и имеет компоненты

где соответствующие компоненты векторов Далее, в случае двумерного течения несжимаемой жидкости в плоскости (х, у) можно удовлетворить уравнению сохранения массы, полагая (см. § 2.2)

Из этого следует, что уравнение движения во вращающейся системе координат отличается от уравнения движения в абсолютной системе координат только добавлением массовой силы на единицу объема

и когда плотность однородна, силы инерции, как и сила тяжести, могут быть скомпенсированы некоторым добавком к давлению; часть этого добавка возникает от кориолисовой силы инерции и часть — от центробежной силы. Таким образом, уравнение движения вновь можно написать в виде (4.1.8), и опять, если только абсолютное давление не входит в граничные условия, то силы инерции не учитываются при определении распределения скорости. Иначе говоря, установившееся вращение двумерного течения без изменения граничных условий относительно вращающейся системы координат не влияет на распределение скорости.

Аналог закона Архимеда для массовой силы (4.1.9) можно установить без особого труда. В случае добавка в выражение (4.1.9) от центробежной силы рассуждение одинаково с рассуждением для силы тяжести, так как обе эти силы представляют собой функции координат пространства. Для того чтобы можно было воспользоваться точно таким же рассуждением для добавка в выражение (4.1.9) от кориолисовой силы, предположим, что функция тока продолжена в область, занятую погруженным твердым телом, некоторым способом, соответствующим движению жидкости в этой области как твердого тела. Тогда добавочная сила воздействия жидкости на тело (на единицу ее глубины), обусловленная действием массовой силы (4.1.9), приложенной к жидкости, определяется интегралом

который берется по площади тела в плоскости Эта сила равна и противоположна по знаку результирующей центробежных и кориолисовых сил, которые действуют на жидкость в объеме тела, если бы она двигалась как твердое тело. Соответствующий результат существует и для пары сил, приложенной к телу со стороны жидкости. Из этого следует, что твердое тело, которое совершает свободное движение, будет двигаться таким образом, что на него не влияет равномерное вращение всей системы координат, если тело имеет ту же общую массу и такое же положение центра масс, как и вытесненная жидкость.

Упражнения

(см. скан)