О расчетах установившегося пограничного слоя на движущемся в жидкости теле

Теперь мы можем в общем виде рассмотреть, каким образом изменяется с расстоянием течение в пограничном слое на поверхности тела, движущегося в покоящейся на бесконечности жидкости при большом числе Рейнольдса (число Рейнольдса основано на скорости тела и линейном размере Можно считать, что этот пограничный слой «начинается» от точки, в которой разделяющаяся линия тока, приходящая из области вверх по потоку, пересекает поверхность тела, а особенности начального развития слоя зависят от местной формы поверхности тела. Если в окрестности этой точки поверхность можно считать локально плоской, то начальное развитие пограничного слоя будет подобно течению в окрестности критической точки, изученному в § 5.5; если же в этой точке поверхность имеет острую кромку, а разделяющаяся линия тока приходит на эту кромку, то пограничный слой будет вначале развиваться подобно одному из семейства решений (5.9.4) при плоской пластине пренебрежимо малой толщины, расположенной по потоку, соответствует значение Вниз по потоку от начального участка пограничного слоя скорость внешнего потока изменяется по-разному и это изменение зависит от формы поверхности тела в целом; при этом может происходить как ускорение, так и замедление течения с соответствующим изменением толщины пограничного слоя и распределения скорости в нем. На ограниченном участке поверхности тела распределение скорости в пограничном слое приближенно будет подобно

распределению, определяемому уравнением Фокнера — Скэн при подходящем выборе значения в соответствии с локальными условиями; это не имеет места только при больших замедлениях внешнего потока.

Для определения развития пограничного слоя в зависимости от заданного установившегося распределения внешней скорости было разработано много численных методов причем все они основаны на том факте, что уравнение пограничного слоя (5.7.1) есть уравнение в частных производных второго порядка параболического типа (в отличие от полного уравнения движения, которое является эллиптическим по в допускает интегрирование вперед по х; условия при любом значении х определяются в общем случае предысторией пограничного слоя. Важная практическая цель таких вычислений состоит в нахождении толщины пограничного слоя и касательного напряжения на стенке; знание последнего необходимо при оценке полной силы, действующей на любое тело со стороны жидкости. Из уравнений пограничного слоя в безразмерной форме (5.7.9) и (5.7.11) следует, что для двумерного тела в потоке со скоростью толщина вытеснения пограничного слоя на расстоянии х вдоль поверхности тела от критической точки равна

где в качестве может быть взята длина тела. Аналогичным образом локальное касательное напряжение на стенке равно

Помеченные штрихами величины в (5.9.8) и (5.9.9) безразмерны и не зависят от числа Рейнольдса, а численное интегрирование уравнений пограничного слоя позволяет определить численные значения величин

как функций переменной х.

Хотя мы здесь не приводим описания различных численных методов для вычисления развития пограничного слоя, мы отметим интегральное соотношение, полученное впервые Карманом (1921), которое легло в основу многочисленных приближенных методов расчета. Это соотношение представляет собой частный случай

уравнения количества движения в интегральной форме (§ 3.2), и его удобно получить путем интегрирования уравнения пограничного слоя (5.7.1) по у поперек слоя. Некоторые члены этого уравнения не обращаются в нуль на внешней границе пограничного слоя, однако мы можем результат интегрирования сделать не зависимым от области интегрирования путем вычитания из уравнения (5.7.1) соотношения (5.7.8), представляющего собой запись уравнения (5.7.1) на внешней границе пограничного слоя. Таким образом, мы получаем для интегрирования уравнение

а в качестве пределов интегрирования для у можно взять и поскольку компонента и считается не зависящей от у и равной на внешней границе пограничного слоя (как можно заметить, это предположение становится все более обоснованным по мере стремления числа Рейнольдса к бесконечности, если использовать при этом преобразованную поперечную координату введенную в § 5.7). В результате интегрирования находим

при получении этого соотношения на последнем этапе было использовано уравнение сохранения массы. Величина

представляет собой длину, аналогичную толщине вытеснения, которая обычно называется толщиной потери импульса и обозначается 0. Теперь (5.9.11) можно переписать иначе

Один из простых приемов, который часто дает достаточно точные результаты, состоит в предположении, что распределение скорости по у имеет одну и ту же форму для всех нужных значений х; это распределение скорости выбирается так, чтобы

(страница отсутствует)

(страница отсутствует)

где Это распределение относительной скорости жидкости (относительно границы) в точке х совпадает с распределением скорости, возникающим в жидкости, ограниченной твердой плоской стенкой, скорость которой в ее собственной плоскости внезапно возрастает от нулевой и поддерживается постоянной, равной в этом последнем случае эффекты конвекции и градиента давления одновременно равны нулю

Теперь мы можем использовать это первое приближение для оценки конвективных членов в (5.9.13). Итак, второе приближение для компоненты скорости, параллельной границе, локально равно причем

нормальная скорость в первом приближении получается из (5.9.14) с использованием уравнения сохранения массы (5.9.1). Граничные условия, которым должна удовлетворять величина таковы:

Правую часть уравнения (5.9.15) можно представить в виде произведения на произвольную функцию от так что частный интеграл уравнения (5.9.15) можно записать как Определение функции удовлетворяющей уравнению (5.9.15) и приведенным выше граничным условиям, можно выполнить непосредственно поэтому в качестве второго приближения для скорости и имеем

Указанная процедура может быть продолжена для улучшения приближения; после приближений дополнительный член в выражении для скорости и имеет вид

Приближения (5.9.16) вполне достаточно для достижения поставленной нами цели, т.е. для обсуждения обратного течения в пограничном слое на участке замедления внешнего течения. Две функции всюду неотрицательны, и отношение имеет наибольшее значение при Следовательно, обратное течение может возникать только для и это достигается в первую очередь при т. е. при вывод, который мы получили также и при изучении установившихся пограничных слоев. Время наступления обратного течения в любой точке х

есть значение t, при котором величина обращается в нуль, и в соответствии с (5.9.16) и известным решением для оно равно

Точные значения времени и координаты, при которых начинается обратное течение, зависят от производной определяемой формой тела.

В качестве простого примера рассмотрим круговой цилиндр радиуса а, движущийся в безвихревом потоке, причем циркуляция вокруг цилиндра равна нулю; в этом случае скорость жидкости относительно поверхности цилиндра (см.

где х измеряется вдоль поверхности от передней критической точки, скорость движения цилиндра относительно жидкости на бесконечности. Максимальное значение величины достигается при этом в кормовой критической точке и обратное течение начинается в момент времени, равный т. е. когда цилиндр переместится на расстояние . (Третье приближение для скорости дает значение 0,32 вместо В последующие моменты времени обратное течение охватывает конечную область поверхности кормовой части цилиндра; так, например, в момент времени обратное течение охватывает интервал , а при эта область продвигается вперед вплоть до значения Однако маловероятно, чтобы первые несколько членов в разложении по степеням дали точную оценку скорости и при значениях t, превышающих Смысл расчета заключается в установлении того, что обратное течение возникает в пограничном слое на кормовой части тела по прошествии периода времени, обратно пропорционального максимальному значению величины и не зависящего от вязкости. Установившиеся пограничные слои, в которых имелось бы обратное течение (и в которых для всех не были обнаружены ни теоретически, ни экспериментально; таким образом, это указывает на то, что установившееся течение на плохообтекаемом теле при наличии тонкого пограничного слоя на всей поверхности тела невозможно.

Мы можем также оценить время, требуемое для переноса завихренности вдаль от цилиндра. Вблизи кормовой критической точки безвихревого течения компонента скорости, нормальная к поверхности и направленная в сторону от нее, равна где для кругового цилиндра; когда слой ненулевой завихренности настолько толст, что перенос завихренности осуществляется в основном за счет конвекции, его толщина

увеличивается как Однако в начальной стадии перенос завихренности от поверхности цилиндра обеспечивается действием сил вязкости; как показывает анализ размерностей, полное выражение для толщины слоя завихренности вблизи кормовой критической точки (где внешний поток определяется лишь величиной к) должно иметь вид

Отсюда следует, что толщина слоя может быть сравнима с радиусом кругового цилиндра по истечении времени порядка

в реальных условиях это значение времени не очень сильно отличается от

Расчеты развития обтекания кругового цилиндра из первоначального безвихревого движения проводились также с использованием конечно-разностной аппроксимации производных по координатам и времени в полных уравнениях движения; последовательное интегрирование по времени уравнений движения во всей области течения осуществлялось с использованием быстродействующей ЭВМ. Этим методом Пейн (1958) численно проинтегрировал уравнение для завихренности (оно удобно по той причине, что вычисления выполнялись для ограниченной области вблизи цилиндра, в которой завихренность отлична от нуля); в качестве шага по времени он использовал величину на рис. 5.9.2 показано полученное распределение завихренности со и функции тока в моменты времени для кругового цилиндра, который внезапно приобретает постоянную скорость соответствующую числу Рейнольдса Это число Рейнольдса не настолько велико для того, чтобы формировался тонкий пограничный слой (если бы сформировался тонкий слой, то возникли бы трудности при использовании метода конечных разностей), однако можно полагать, что механизм образования завихренности на кормовой части цилиндра и последующий перенос ее вниз по потоку во многом напоминает такой же процесс при больших числах Рейнольдса. По-видимому, быстрое увеличение толщины слоя ненулевой завихренности происходит в области замкнутых линий тока, соответствующих обратному течению вблизи поверхности цилиндра.

Этот быстрый рост слоя ненулевой завихренности можно наблюдать на кормовой части плохообтекаемого тела, движущегося из состояния покоя. На фото 5.9.3 показано течение жидкости на поверхности плохообтекаемого тела в последовательные моменты времени после начала движения тела; первый момент времени настолько близок к начальному, что пограничный слой еще не виден. На последующих фотографиях можно видеть появление

Рис. 5.9.2. Линии тока относительно цилиндра и распределение завихренности при внезапном приведении его в движение с постоянной скоростью в моменты времени

и усиление обратного течения в пограничном слое. (На них видна также характерная тенденция завихренности формироваться в виде отдельных круговых «вихрей» в утолщающемся пограничном слое, что, очевидно, служит проявлением локальной неустойчивости течения. Эти вихри связаны с довольно интенсивным обратным течением, как можно заметить по появлению на последних двух фотографиях вторичных вихрей противоположного направления в области вверх по потоку от основного вихря.) Вполне очевидно, что увеличение толщины слоя завихренности на кормовой части вскоре приводит к нарушению в этой области приближения пограничного слоя; таким образом, окончательно установившееся течение уже не будет таким течением, в котором жидкость в пограничном слое из передней части тела движется по поверхности тела к кормовой критической точке.