2.6. Распределение завихренности

Имеется много причин, по которым более удобно представлять движение жидкости, исходя из понятия завихренности, а не скорости, несмотря на ее более простой физический смысл. Кроме того, оказывается, что во многих важных случаях можно и полезно разделить поле течения на две области с различными свойствами, причем в одной из них завихренность почти всюду приближенно равна нулю. Изучению того, как изменяется распределение

завихренности, будет часто уделяться внимание в последующих главах. Мы еще не готовы описывать влияние на завихренность различных сил, действующих в жидкости, однако можем отметить чисто кинематические следствия определения вектора завихренности в виде или его эквивалентного определения как удвоенной локальной угловой скорости частиц жидкости. Одно из таких следствий — тождество

Линия в жидкости, касательная к которой в каждой точке параллельна локальному вектору завихренности, называется вихревой линией, а семейство таких линий в любой момент времени определяется уравнением, аналогичным уравнению (2.1.1). Поверхность в жидкости, образованная всеми вихревыми линиями, проходящими через данную стягиваемую замкнутую кривую, проведенную внутри жидкости, называется вихревой трубкой. Поток завихренности через открытую поверхность, ограниченную стягиваемой кривой и целиком расположенную в жидкости, определяется интегралом

где элемент площади поверхности; можно воспользоваться соотношением (2.6.1), чтобы показать, что этот интеграл имеет одно и то же значение по любой такой открытой поверхности, расположенной в жидкости и ограниченной любой замкнутой кривой, лежащей на вихревой трубке и один раз охватывающей ее. Действительно, если элементы площади двух таких открытых поверхностей (направления векторов имеют одинаковый смысл по отношению к вихревой трубке), то по формуле Остроградского — Гаусса для объема жидкости, между этими поверхностями и связанной с ними частью вихревой трубки

причем добавок в интеграл на поверхности вихревой трубки равен нулю. Следовательно, поток завихренности вдоль вихревой трубки не зависит от выбора открытой поверхности, используемой для

его измерения, и называется интенсивностью вихревой трубки. В случае вихревой трубки бесконечно малого поперечного сечения ее интенсивность равна произведению площади поперечного сечения на величину локальной завихренности, при этом интенсивность одинакова в любом сечении трубки. Отметим, что вихревая трубка не может оканчиваться внутри жидкости.

Применение теоремы Стокса к замкнутой кривой, лежащей полностью на вихревой трубке и охватывающей ее один раз, дает

где элемент открытой поверхности, ограниченной этой замкнутой кривой. Криволинейный интеграл от скорости жидкости по замкнутой кривой называется циркуляцией; таким образом, циркуляция по любой стягиваемой замкнутой кривой равна потоку завихренности через открытую поверхность, ограниченную этой кривой, или, что эквивалентно этому, равна интенсивности вихревой трубки, образованной всеми вихревыми линиями, проходящими через эту кривую.