Теорема Кельвина о минимуме энергии

Единственность решения для однозначного потенциала скорости с заданной величиной нормальной компоненты в каждой точке границы связана с минимумом полной кинетической энергии, как показывает результат, полученный Кельвином (1849).

Пусть два соленоидальных распределения скоростей в данной области, занятой жидкостью, с одинаковыми значениями их нормальных компонент в каждой точке границы области (если жидкость простирается в бесконечность, то там эти значения равны нулю); предположим далее, что — скорость безвихревого течения с однозначным потенциалом Тогда разность между полными кинетическими энергиями, соответствующими этим двум распределениям скоростей, равна

Для второго интеграла по объему имеем

где интеграл по поверхности берется по всей границе жидкости и поэтому равен нулю (часть этого интеграла по гипотетической бесконечно удаленной границе, если жидкость простирается в бесконечность, равна нулю). Таким образом, имеем при откуда и следует, что никакое другое движение с данными нормальными компонентами скоростей на той же границе не

может иметь кинетическую энергию меньше кинетической энергии единственного возможного безвихревого движения.

В случае многозначного потенциала с заданными в каждой точке границы нормальными компонентами скорости очевидно, что доказанная теорема применима только к однозначной части потенциала введенной в конце § 2.8.