Расширяющийся сферический пузырь

Простой и важный пример течения, вызванного одним изолированным пузырем, размеры которого изменяются, дается сферической каверной, создаваемой подводным взрывом. В данном случае ускорения в радиальном направлении много больше ускорения силы тяжести так что в первом приближении мы можем им

пренебречь. Если скорость воды достаточно мала для того, чтобы ее можно было рассматривать как несжимаемую среду, радиальная скорость и воды (в предположении, что она зависит только от радиуса ) равна

где радиус пузыря и Эта скорость соответствует безвихревому течению, потенциал скорости которого

Для давления в воде мы можем написать (см. (6.2.5))

где постоянное давление вдали от пузыря. Следовательно, если по результатам взрыва давление внутри пузыря известно как функция времени t, то радиус пузыря удовлетворяет дифференциальному уравнению

Это уравнение можно интерпретировать как уравнение энергии. Полная кинетическая энергия воды равна

а скорость, с которой эта энергия изменяется, равна величине работы, совершаемой нормальной силой на границе пузыря и на жидкой сферической поверхности «в бесконечности», т. е.

Таким образом,

что повторяет уравнение (6.11.16).

Взрыв, который производится в большой массе воды, порождает большое количество газа под высоким давлением. По мере того как этот газовый пузырь расширяется и приводит окружающую его воду в радиальное движение, давление в газе уменьшается приближенно по адиабатическому закону, который, вообще

говоря, зависит от состава продуктов взрыва, но обычно дает обратную пропорциональность давления высокой степени радиуса пузыря. На более поздних стадиях процесса расширения пузыря он превосходит свой равновесный радиус, давление газа в нем падает значительно ниже и тогда пузырь по существу можно считать пустым. Внешнее давление постоянно, так что дифференциальное уравнение (6.11.17) можно один раз проинтегрировать и найти

где максимальный радиус пузыря, когда он прекращает расширение и начинает сжиматься. Далее, зависимость между временем и радиусом эффективно пустого пузыря в жидкости, в которой на бесконечности поддерживается постоянное равномерное давление определяется квадратурой

где момент времени, при котором Написанная формула справедлива как для положительных, так и для отрицательных значений разности причем движение в фазе сжатия является простым обращением движения пузыря в фазе расширения. Если не происходит потерь энергии освобождаемой при взрыве в окружающую воду путем теплового излучения или теплопроводности, то энергию можно приравнять полной работе, совершаемой над жидкостью в бесконечности вплоть до момента времени когда кинетическая энергия равна нулю, и определить

Мы еще воспользуемся этими соотношениями в § 6.12, рассматривая другое явление.

Установлено, что соотношения (6.11.19) и (6.11.20) согласуются с наблюдаемыми радиусами пузырей, которые расширились за пределы их равновесного радиуса, если только, согласно предположению, влияние силы тяжести незначительно. Уравнение (6.11.16) показывает, что в отсутствие силы тяжести радиальные ускорения на границе пузыря максимального радиуса имеют порядок поскольку же сферический газовый пузырь поднимается в воде с начальным ускорением (§ 6.8), то, очевидно, условие незначительного влияния силы тяжести сводится к неравенству

которое для взрыва в океане можно интерпретировать как требование, чтобы максимальный радиус пузыря был мал по сравнению с глубиной взрыва. Если это условие не удовлетворяется, то перемещение пузыря вверх происходит одновременно с несимметричным радиальным расширением, причем скорость подъема центра пузыря в фазе сжатия больше, чем в фазе расширения (Тейлор (1963)).