Влияние изменения поперечного сечения трубы на течение закрученной жидкости

Предположим, что жидкость, находящаяся в установившемся движении в трубе, проходит переходный участок, соединяющий два длинных цилиндрических отрезка разных поперечных сечений; пусть на некотором расстоянии вверх по потоку от переходного участка жидкость имеет постоянную осевую скорость и вращается как твердое тело с угловой скоростью Труба имеет осесимметричную границу, и течение всюду считается осесимметричным. Переходный участок можно рассматривать как простое увеличение или уменьшение радиуса трубы (рис. 7.5.1, а, б); два других варианта переходного участка, интересные для приложений, показаны на рис. 7.5.1, в, г. Во всех рассматриваемых случаях течение вверх и вниз по потоку от переходного участка цилиндрическое и задача состоит в определении параметров цилиндрического течения в области вниз по потоку.

Уравнение (7.5.16) применимо во всем поле течения, а в интересующей нас цилиндрической области вниз по потоку, где зависят только от а, имеем

Это уравнение Бесселя порядка единицы, имеющее общее решение

где стандартные обозначения функций Бесселя первого и второго рода. Постоянные должны быть определены по известным значениям при двух значениях радиуса.

Все указанные выше варианты переходных участков можно описать единообразно, если предположить, что областями цилиндрических течений вверх и вниз по потоку от переходного участка будут кольцевые области соответственно (рис. 7.5.2). Линии тока, на которых значения равны в цилиндрической области вверх по потоку, отстоят от оси симметрии соответственно на расстояниях в области вниз по потоку; таким образом, решение (7.5.18) должно удовлетворять граничным условиям

Из этих условий находим

Рис. 7.5.1. Различные варианты переходов от одного цилиндрического течения к другому.

Рис. 7.5.2. Общий случай перехода от одного цилиндрического течения к другому а выражение для В получается из написанного путем замены на на

Осевая скорость в цилиндрической области вниз по потоку, согласно (7.5.15) и (7.5.18), равна

здесь были использованы известные соотношения между функциями Бесселя и а также между Азимутальная скорость равна

Наиболее интересный переходной участок — это простое изменение радиуса трубы, показанное на рис. 7.5.1, а, б. Полагая и записывая вместо а также используя предельные значения

Рис. 7.5.3. Функции Бесселя первого рода.

мы находим так что

так что

и

Когда две последние формулы приводятся к виду

они описывают изменения, которые происходят в трубке малого поперечного сечения, представляющей собой одновременно трубку тока и вихревую трубку с однородным распределением скорости и завихренности. При более высоких значениях характер изменения распределений по а можно выяснить, исходя из графика функций на рис. 7.5.3. Если (т. е. меньше первого нуля то отклонения величин от единицы всюду в цилиндрической области вниз по потоку имеют тот же знак, что и (т. е. увеличиваются при сужении трубы и уменьшаются при ее расширении), и монотонно изменяются поперек сечения трубы, достигая наибольшего значения в его центре. На оси трубы в области вниз по потоку имеем

равенство на оси трубы указывает на то, что ось трубы расположена внутри трубки тока и одновременно вихревой трубки малого поперечного сечения. При изменении от до 2,4 множитель в (7.5.24) изменяется от 1,0 до 2,32, так что

Рис. 7.5.4. Превращение прямолинейной вихревой линии в спиральную при прохождении сужения трубы. 1 - вихревая нить.

изменения величин на оси переходного участка могут отличаться от находимых при постоянных значениях осевой скорости и осевой завихренности по всему поперечному сечению множителем, не большим 2,32. Вблизи внешней границы трубы относительные изменения величин должны быть меньше чем чтобы обеспечить правильные значения полного осевого потока массы и полного осевого момента количества движения.

Качественную картину этих изменений при изменении радиуса трубы в переходном участке можно объяснить путем рассмотрения формы вихревых линий. В цилиндрической области вверх по потоку вихревые линии суть прямые, параллельные оси симметрии, которые вращаются относительно этой оси вместе с жидкостью. Когда вихревая линия проходит через переходный участок, она смещается радиально внутрь или наружу (в зависимости от сужения или расширения трубы), а азимутальная скорость частиц жидкости на вихревой линии изменяется по закону Таким образом, если вихревая линия смещается при прохождении переходного участка внутрь (см. рис. 7.5.4), то частицы вихревой линии движутся вокруг оси симметрии быстрее, чем они двигались в цилиндрической области вверх по потоку; в результате этого вихревая линия деформируется в спираль с положительным значением азимутальной компоненты завихренности (при условии, что вверх по потоку осевая скорость была положительной). Это приводит к отрицательному значению производной в цилиндрической области вниз по потоку, так что при сужении трубы максимальное значение скорости достигается на ее оси, как это и было установлено из (7.5.22) (при условии, что т. е. меньше первого нуля функции Аналогично можно убедиться, что при расширении трубы на ее оси получается наименьшая скорость.

Интересная особенность формул (7.5.22) и (7.5.23) связана с появлением отрицательных значений при определенных комбинациях величин грубо говоря, при достаточно сильной начальной закрутке жидкости. В случае перехода к большему радиусу трубы увеличение от нулевого значения приводит к отрицательным значениям первую очередь на оси трубы; в случае сужения трубы компонента и становится отрицательной сначала на внешней границе при достижении величиной некоторого значения, превосходящего 2,40. Однако практические ситуации, в которых возникает обратное осевое течение, вряд ли могут быть описаны уравнением (7.5.16), так как оно выведено в предположении, что все линии тока приходят к переходному участку из области, где имеется специфическая зависимость от поэтому трудно себе представить, чтобы точно такая же зависимость выполнялась для возвратных линий тока, приходящих из области больших положительных значений х вниз по потоку. Таким образом, эту формулу следует считать практически пригодной только для течений с во всей цилиндрической области вниз по потоку от переходного участка.

Следует также отметить, что происходит нечто странное, когда величина достигает значения 3,83, при котором для любых значений отношения величины в области вниз по потоку становятся неопределенно большими. Более глубокий анализ позволяет выяснить связь этой особенности с нарушением нашего предположения о том, что течение вниз по потоку от переходного участка снова становится цилиндрическим. По-видимому, при таком большом значении возможно существование некоторого осесимметричного волнового движения жидкости, а влияние изменения поперечного сечения трубы приводит к возникновению цуга волн в области вниз по потоку (подобно тому, как в потоке воды в открытом канале возникает поверхностных волн при определенной скорости течения, если канал перекрыть некоторым препятствием). В следующем параграфе мы кратко рассмотрим такие осесимметричные волны во вращающейся жидкости.

Вариант переходного участка, представленный на рис. 7.5.1, в, не дает чего-либо нового, за исключением того, что коэффициент В в выражении (7.5.18) для него будет отличен от нуля. При отсутствии внутренней границы жидкости в области вниз по потоку (рис. 7.5.1, г) коэффициент В также отличен от нуля (и отрицателен), и поэтому в области вниз по потоку при а обе величины становятся бесконечно большими и положительными; таким образом, переходный участок в этом случае создает вблизи оси сильную, направленную вперед струю быстро вращающейся жидкости.