7.6. Жидкие системы, вращающиеся как целое

Как упоминалось в предыдущем параграфе, вращающаяся установившимся образом жидкость способна поддерживать осесимметричное волновое движение, распространяющееся вдоль оси вращения. Сейчас мы рассмотрим в явном виде свойство «упругости» жидкости, которое приобретается ею под действием вращения и которое обусловливает восстанавливающий механизм, необходимый для распространения волн. Эта эффективная упругость жидкости существует при различных распределениях завихренности в ней, однако мы ограничимся здесь обсуждением частного случая, когда жидкость либо первоначально, либо в некотором среднем смысле стационарно вращается как твердое тело.

Течения таких вращающихся жидкостей обладают многочисленными интересными свойствами, изучению которых до сих пор уделяется много внимания.

Восстанавливающее действие сил Кориолиса

Если движение отнесено к осям координат, стационарно вращающимся вместе с жидкостью, то необходимо учесть действие на жидкость сил Кориолиса и центробежных сил инерции (3.2.10). Центробежную силу на единицу массы можно записать как и считать ее эффект эквивалентным дополнительному давлению (для жидкости постоянной плотности). В отличие от центробежной силы сила Кориолиса создает эффекты нового типа, к числу которых относится «упругость» жидкости. Обозначим через модифицированное давление, которое содержит как центробежные силы, так и силы тяжести, а через и — скорость относительно осей координат, вращающихся с угловой скоростью и запишем уравнение движения

Сила Кориолиса направлена перпендикулярно оси вращения и вектору скорости; она изменяет направление движения частиц жидкости, не совершая работы. Важна только компонента вектора скорости и в плоскости, нормальной вектору (эту плоскость мы будем называть поперечной плоскостью), поскольку сила Кориолиса стремится изменить направление только этой компоненты. Направление этого изменения противоположно вращению подвижной системы координат (рис. 7.6.1); так, например, если основное вращение в поперечной плоскости направлено против

Рис. 7.6.1. К вопросу о направлении силы Кориолиса, действующей во вращающейся системе отсчета. Плоскость нормальна к оси вращения. 1 — направление вращения системы координат; 2 — компонента скорости и в плоскости ; 3 - сила Кориолиса.

часовой стрелки, то сила Кориолиса стремится повернуть направление движения частицы во вращающейся системе отсчета по часовой стрелке. Кроме того, сила Кориолиса линейно зависит от скорости и стремится изменить направление компоненты скорости и в поперечной плоскости в одинаковой мере при любых значениях этой компоненты и при любых ее направлениях. Таким образом, если движение частицы определяется в основном силой Кориолиса, то она будет двигаться по траектории, проекция которой на поперечную плоскость будет окружностью; время обхода этой окружности имеет порядок Сила Кориолиса, очевидно, стремится вернуть частицу в ее первоначальное положение в поперечной плоскости. Заметим, что при рассмотрении силы Кориолиса положение оси вращения существенного значения не имеет.

Поскольку при движении частиц жидкости характерно их сильное взаимодействие посредством градиентов давления, желательно рассмотреть также общее воздействие сил Кориолиса на совокупность жидких частиц. Предположим, что во вращающихся осях координат существует движение, которое приводит к ненулевому и положительному значению дивергенции в некоторой области жидкости в поперечной плоскости, т. е. к положительному значению величины

(в системе координат, показанной на рис. 7.6.1). Тогда площадь проекции на поперечную плоскость замкнутой жидкой линии в этой области жидкости будет увеличиваться. Влияние силы Кориолиса, связанной с этим общим расходящимся движением, приводит к возникновению касательного движения жидкой линии, которое дает отрицательный вклад в циркуляцию вокруг нее. Это изменение циркуляции во вращающихся осях координат представляет собой просто изменение, требуемое для поддержания

постоянной циркуляции в абсолютной системе координат из-за наличия движения, приводящего к увеличению упомянутой выше площади проекции в поперечной плоскости.

Далее, возникающее новое касательное движение жидкой линии приводит к появлению силы Кориолиса, действующей в направлении по нормали к этой линии; поскольку же новое касательное движение создает отрицательный результирующий вклад в циркуляцию, возникающая при этом сила Кориолиса направлена в основном внутрь рассматриваемой области жидкости и, таким образом, стремится уменьшить площадь, охватываемую проекцией материальной кривой на поперечную плоскость. Иначе говоря, в тех местах жидкости, где величина дивергенции скорости положительна, влияние сил Кориолиса сводится к появлению отрицательного значения этой величины, и обратно. Итак, результирующий эффект сил Кориолиса состоит в создании сопротивления смещениям элементов жидкости, совместное действие которых приводит к изменению площади, охватываемой проекцией жидкой линии на поперечную плоскость, т. е. к ненулевому расхождению (дивергенции) в поперечной плоскости.

Величина восстанавливающего эффекта сил Кориолиса при смещении частиц жидкости, очевидно, зависит от относительных величин сил Кориолиса и других сил, действующих на жидкость; в рассматриваемом нами случае этими другими силами будут силы инерции. Обозначим через характерную величину скорости (относительно вращающихся осей координат), а через характерный линейный размер, на протяжении которого скорость и заметно изменяется; тогда отношение величин членов и в (7.6.1) имеет порядок

Величина этого отношения, которое известно как число Россби и названо так по имени известного шведского метеоролога, удобна для определения относительного влияния сил Кориолиса. Если то силы Кориолиса оказывают незначительное влияние на картину течения; однако при условии определяющим фактором, вероятно, будет стремление сил Кориолиса препятствовать любому расхождению в поперечной плоскости. В промежуточном случае, когда порядка единицы, следует ожидать появления интересных смешанных эффектов, предварительное представление о которых можно было составить из обсуждения в § 7.5 установившегося осесимметричного течения с закруткой.