Следы

Понятие следа обычно относится к области жидкости с ненулевой завихренностью за кормовой частью тела, обтекаемого в остальном однородным потоком жидкости. Распределение скорости в следе вблизи тела должно быть довольно сложным даже в случае установившегося потока, как это можно заключить из рассмотренных в и 5.11 течений жидкости. Однако далеко вниз по

(кликните для просмотра скана)

Рис. 5.12.3. Контрольная поверхность (штриховая линия), охватывающая жидкость, для которой вычисляется поток количества движения. 1 — грань 1, площадь а; 2 - поверхность грань 2, площадь а.

Здесь постоянная, определяемая условиями при некотором начальном значении х с учетом того обстоятельства, что интеграл

не зависит от х; в этом можно убедиться, если проинтегрировать обе стороны соотношения (5.12.9). Соответствующее решение для двумерного следа отличается только тем, что оно не будет содержать члены с в (5.12.8) — (5.12.10) и множитель в (5.12.9) будет входить в степени 1/2. Таким образом, как для двумерного, так и для трехмерного случаев ширина следа, определяемого как область, в которой разность и больше некоторой доли ее максимального значения, увеличивается с расстоянием вниз по потоку по параболическому закону.

Из сказанного следует возможность получить соотношение между постоянной и полным сопротивлением тела, порождающего след, несмотря на то, что остается неизвестным соотношение между и условиями в следе вблизи тела, где уравнение (5.12.8) неприменимо. Мы воспользуемся уравнением количества движения в интегральной форме, применив тот же подход, что был объяснен в § 3.2 (и проиллюстрирован в § 5.15). В качестве контрольной поверхности выберем цилиндр с образующими, параллельными невозмущенному потоку, и плоскими основаниями площади А, нормальными потоку (рис. 5.12.3); боковая поверхность цилиндра располагается достаточно далеко от тела, так что след находится внутри ее. На жидкость, содержащуюся в данный момент внутри этой контрольной поверхности, действуют силы, приложенные к самой поверхности, и силы, приложенные к поверхности тела; результирующая последних в направлении оси х равна Приравнивая сумму х-компонент этих сил приращению потока количества движения в направлении оси х через

контрольную поверхность, имеем

где значения компоненты скорости и вдоль оси х и давление жидкости на основаниях контрольной поверхности вверх и вниз по потоку соответственно, силы вязкости, действующие на контрольную поверхность. Полный поток массы через контрольную поверхность должен быть нулевым, так что получаем дополнительное соотношение

Мы можем считать, что все элементы контрольной поверхности удалены на большое расстояние от тела, чтобы можно было пренебречь действием сил вязкости на поверхность тела и приближенно определить величины На криволинейной цилиндрической поверхности отклонение от условий свободного потока мало и можно положить во втором интеграле в (5.12.11). С помощью (5.12.12) находим

Отсюда видно, что наличие дефекта скорости в следе эквивалентно наложению на однородный поток некоторого добавочного течения, направленного к телу. Величина объемного расхода для этого течения равна из (5.12.10); относительно системы координат, фиксированной в жидкости на бесконечности, величина есть скорость, с которой объем жидкости переходит через стационарную плоскость позади тела. Это добавочное течение должно быть компенсировано, как это непосредственно следует из (5.12.12), равным по объему потоком жидкости, направленным в сторону от тела в область безвихревого течения вне следа. Таким образом, наличие следа позади тела связано с некоторым дополнительным потоком типа источника в безвихревом течении, а интенсивность эффективного источника равна как показано в § 2.9, 2.10, такой источник не может вызвать вдали от тела большого отклонения от однородного потока. Очевидно, что течение на больших расстояниях от тела представляет собой наложение однородного потока и некоторого движения, схематически показанного на рис. 5.12.4, а в области вне следа отклонение скорости от значения в однородном потоке убывает с расстоянием как в трехмерном случае и как в двумерном. В этой же области применимо уравнение Бернулли, и поэтому по динтегральное выражение в (5.12.13) принимает вид

Рис. 5.12.4. Течение на большом расстоянии от тела, которое движется справа налево в жидкости, покоящейся на бесконечности; оно состоит из течения в следе и компенсирующего его течения от источника.

отсюда следует, что интеграл по той части площади А, которая лежит вне следа, стремится к нулю по мере увеличения расстояния между телом и основаниями цилиндра.

Вдали от тела линии тока почти параллельны, а изменение давления поперек следа очень мало. Таким образом, предельная форма интеграла в (5.12.13), когда цилиндр становится бесконечно длинным, а значения стремятся к значениям свободного потока стремится медленнее других), имеет вид

и величину можно теперь оценить посредством интегрирования по поперечной площади следа. Этим определяется постоянная, входящая в асимптотический профиль скорости в следе (5.12.9). Полученное соотношение (5.12.15) между сопротивлением тела и скоростью добавочного течения, обусловленного наличием следа, уже встречалось как следствие озееновского приближения уравнений обтекания сферы при малых числах Рейнольдса (§ 4.10). Данный здесь вывод соотношения (5.12.15) на основе общих уравнений сохранения количества движения показывает, что оно выполняется для любого тела, имеющего нулевую подъемную силу и движущегося стационарно в покоящейся жидкости при произвольном числе Рейнольдса.

Профиль скорости (5.12.9) также имеет много общего с распределением скорости, которое было вычислено в § 4.10 на основе уравнений Озеена для стационарно движущегося тела. Легко видеть, что функция тока (4.10.6), полученная для течения в области далеко вниз по потоку за движущейся сферой и внутри параболоида вращения с порядка дает то же самое распределение продольной скорости, что и соотношение (5.12.9); при этом постоянная в (5.12.9) должна определяться из (5.12.15) и соотношения справедливого

при обтекании сферы с малыми числами Рейнольдса. Это совпадение двух распределений скорости в следе, полученных при явно различных условиях из уравнений, в которых нелинейный член заменялся членом (здесь и — скорость жидкости относительно тела), можно объяснить двумя обстоятельствами. Во-первых, асимптотические функции тока (4.10.5) и (4.10.6), представляющие соответственно течение от источника, связанного со сферой, и добавочное течение к телу из-за наличия следа, зависят от формы тела только таким образом, что форма тела влияет лишь на величину объемного расхода добавочного течения, а она, как видно из (5.12.15), определяется полным сопротивлением. Во-вторых, члены, оставленные в первом из уравнений Озеена (4.10.2), но не в (5.12.8), становятся относительно малыми при увеличении расстояния вниз по потоку, так что решения этих двух уравнений совпадают при

Значительные ограничения на применимость полученных выше выражений для распределения скорости возникают из-за неустойчивости установившихся течений в следе, хотя соотношение (5.12.15) остается справедливым и дает связь между средним сопротивлением и средним расходом добавочного течения в нерегулярном следе. Как уже отмечалось (см. фото 4.12.6 и 5.11.4), в следе за круговым цилиндром при числах Рейнольдса в диапазоне между 70 и 2500 формируется интересная периодическая цепочка вихрей, или «вихревая дорожка». Для чисел Рейнольдса свыше 2500 след позади кругового цилиндра становится турбулентным и имеет нерегулярные пульсирующие скорости; но даже и при более низких числах Рейнольдса на достаточно большом расстоянии вниз по потоку за вихревой дорожкой течение обычно оказывается турбулентным. Известно, что ширина турбулентного следа позади цилиндрического тела увеличивается как точно так же, как и для установившегося ламинарного течения, хотя коэффициенты пропорциональности имеют различные значения. Число Рейнольдса, основанное на ширине следа и характерной относительной скорости внутри следа (дефекте скорости), является решающим критерием, который определяет при заданном расстоянии вниз по потоку устойчивость следа и его турбулентность. Как для установившегося ламинарного, так и для турбулентного следов позади двумерных тел указанное число Рейнольдса не зависит от х, так что следы остаются либо ламинарными, либо турбулентными до бесконечности вниз по потоку. Таким образом, применимость соотношения (5.12.9) для двумерного случая ограничивается теми числами Рейнольдса для тела, при которых установившийся след устойчив; в случае кругового цилиндра требуемая величина должна быть меньше 40.

Условия неустойчивости следа позади трехмерного тела не изучены столь хорошо, хотя можно ожидать, что критическое

значение числа Рейнольдса для трехмерного тела выше, чем для цилиндра. Ширина турбулентного следа за трехмерным телом увеличивается как а максимальное значение дефекта средней скорости уменьшается как таким образом, эффективное число Рейнольдса для определенного участка следа уменьшается как и течение в следе перестает быть турбулентным на некотором расстоянии от тела. Поэтому можно ожидать, что профиль скорости (5.12.9) будет применимым в установившемся следе за трехмерным телом при числах Рейнольдса, достаточно малых для устойчивости, а также на достаточно большом расстоянии вниз по потоку от тела, след за которым первоначально был турбулентным.