Профили Жуковского

Для получения более подробных данных о форме профилей, получаемых из окружности с помощью конформного отображения, и о распределении давления на них мы должны рассмотреть преобразования частного вида. В качестве примера вкратце рассмотрим преобразование Жуковского, уже применявшееся для определения течения, вызванного движущимися эллиптическими цилиндрами, имея в виду его относительную простоту и историческую значимость. Более полное описание профилей, полученных этим и другими преобразованиями, имеется во многих учебниках.

Преобразование Жуковского определяется функцией

в которой действительная постоянная с размерностью длины и которая имеет особенности при

Так как равенство (6.7.11) можно написать в виде

то преобразование вблизи обеих особых точек имеет общий вид (6.7.4), и любую из двух особых точек можно использовать для построения профиля с точкой возврата в плоскости исходя из кривой с конечной кривизной в плоскости Можно было бы использовать обе точки и получить профиль с двумя точками возврата наподобие плоской пластины, однако практически используемый профиль должен иметь только одну острую кромку. Выберем особенность в точке для того, чтобы получить профиль с гладкой передней кромкой в направлении положительной оси таким образом, в использованных ранее в этом параграфе обозначениях имеем Тогда

и поскольку функция определенная в равенстве (6.7.5), равна произведению на то значение

является мнимой величиной, что и было предположено ранее.

Окружность радиуса с в плоскости должна проходить через точку

соответствующую кормовой кромке профиля, и обходить другую особую точку (в предельном случае окружность может пройти через эту точку, тогда на профиле будет две острые кромки). Предположим сначала, что центр окружности расположен на оси в точке где тогда в силу симметрии преобразования относительно оси х следует, что соответствующий профиль симметричен относительно оси х и что Если то соответствующий профиль в плоскости z представляет собой плоскую пластину длиной тогда как в случае мы

Рис. 6.7.8. Преобразования круга в пластину (штриховая линия) и в симметричный профиль Жуковского (сплошная линия).

получим профиль, который касается пластины в общей с ней заостренной кормовой кромке (рис. 6.7.8) и всюду охватывает ее. Кроме того, если

то профиль не может заметно отличаться от плоской пластины и его можно считать тонким. Теперь остается воспользоваться формулой (6.7.11), чтобы вычислить координаты точек на профиле, соответствующие при известной величине отношения заданным точкам окружности; типичный симметричный профиль Жуковского, полученный таким путем, приведен на рис. 6.7.8. Длина профиля в направлении потока, называемая хордой профиля, равна

последнее равенство справедливо при Общее выражение для максимальной толщины профиля не получается столь простым, но если то можно найти, что она приближенно равна и располагается на расстоянии одной четверти хорды от передней кромки. Когда отношение максимальной толщины к хорде имеет величину около 0,13, и так как на практике это значение редко превышается, то очевидно, что обычно хорда достаточно точно характеризуется величиной При этом подъемная сила тонкого симметричного профиля, которую удобнее всего выразить через коэффициент подъемной силы аналогичный коэффициенту лобового сопротивления (см. § 5.11), определяется по формуле (см. (6.7.9))

Рис. 6.7.9. Преобразования круга в дугу окружности (штриховая линия) и в изогнутый профиль Жуковского (сплошная линия).

Иногда целесообразно использовать профиль, на котором начало срыва при больших углах атаки задерживается и для которого максимально возможный коэффициент подъемной силы больше, чем для симметричного профиля упомянутого выше типа. Затупление носика профиля позволяет только частично достичь эту цель, и оказывается, что более эффективен изгиб профиля, т. е. искривление его средней линии, выпуклостью вверх, так чтобы передняя кромка была направлена приближенно навстречу потоку, а основная часть профиля наклонена к нему. Преобразование Жуковского можно использовать и для построения изогнутых профилей, выбирая положение центра окружности в плоскости вне оси Предельный случай тонкого профиля с двумя точками возврата и всюду с нулевой толщиной, наподобие плоской пластины, получается путем расположения центра круга на оси при при этом угол имеет тот же самый смысл, что и ранее. Радиус окружности (см. рис. 6.7.9) равен тогда Далее, из (6.7.12) следует, что

правая часть написанного равенства постоянна и равна для точек, расположенных на дуге окружности выше оси и постоянна и равна для точек на дуге ниже оси поэтому в плоскости z соответствующие этим двум дугам кривые должны быть двумя совпадающими дугами окружности с радиусом

Подъемная сила, действующая на эту дугу окружности, при циркуляции, обеспечивающей конечную скорость на кормовой кромке, находится по формуле (6.7.9). Хорда профиля в точности равна так что

Теперь можно получить изогнутый профиль с конечной толщиной, комбинируя описанные выше операции, т. е. выбирая