3. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ

3.1. Интегралы по объему движущейся жидкости

Динамические уравнения, описывающие движение жидкости, по существу связаны с реакцией определенной части или массы жидкости на приложенные к ней внешние воздействия. Поэтому полезно разработать способы физического описания движения частицы жидкости, которая может деформироваться, а также изменять свое положение в пространстве.

В вводной кинематической части мы рассмотрим изменения размера и ориентации элементов жидкого объема, жидкой поверхности, жидкой линии при движении. Будем предполагать, что линейные размеры элементов столь малы, что в любой момент времени они совершают чисто деформационное движение и квазитвердое вращение (а также и поступательное движение), как показывает равенство (2.3.13). Однако при рассмотрении изменения объема, вектора площади или вектора длины соответствующих элементов жидкости оказывается, что удобнее не разделять явно изменения в элементе на чистую деформацию и квазитвердое вращение.

Рассмотрим сначала элемент жидкости, объем которого равен Скорость изменения этого объема, как отмечалось в § 2.2, равна

здесь скорость относительного объемного расширения V и вычисляется в мгновенном положении элемента, а означает величину меньшего порядка, чем Удобный способ получения точного соотношения из равенства (3.1.1) состоит в том, чтобы рассмотреть отношение объема к его значению в некоторый начальный момент времени а затем сделать этот объем бесконечно малым. Таким образом,

где

Здесь безразмерный мгновенный удельный объем элемента жидкости, очевидно равный где — плотность той же самой частицы жидкости.

Скорость изменения вектора , изображающего элемент жидкой линии, который приближенно остается прямолинейным, равна просто разности скоростей двух концов элемента, т. е.

Это соотношение также можно сделать точным путем введения величины и последующего перехода к пределу при

Скорость относительного изменения объема элемента жидкости зависит от величины объема, но не зависит от формы его поверхности. Мы можем выбрать элемент жидкости в виде цилиндра, два торца которого представляют собой одинаковые элементы жидкой поверхности с вектором площади а образующие — элементы жидкой линии ; такой элемент жидкого объема остается цилиндрическим при чистой деформации или квазитвердом вращении, хотя векторы и углы между ними изменяются, и

в любой момент времени. Подставляя выражение (3.1.4) в (3.1.1) с учетом (3.1.3), находим

(векторные обозначения здесь менее удобны), и поскольку это соотношение должно быть справедливым при любом выборе вектора , имеем

И снова точное равенство можно получить путем деления на и последующего перехода к пределу при Другой способ написания этого выражения для скорости изменения площади элемента жидкой поверхности, который следует из уравнения сохранения массы (2.2.3), дает равенство

где плотность берется в данном положении движущегося элемента.

Своеобразная общность в поведении векторов выясняется при вычислении скоростей изменения их величин С помощью (3.1.3) и (3.1.6) можно найти, что

и

где тип — единичные векторы, параллельные векторам соответственно. Скалярная величина представляет собой скорость относительного растяжения жидкости в направлении вектора , а величина скорость относительного сжатия жидкости в направлении вектора

В частном случае несжимаемой жидкости инварианты элемента жидкости и множитель в соотношениях (3.1.6) и (3.1.8) сокращается.