Возникновение циркуляции вокруг профиля и обоснование гипотезы Жуковского

Отклонимся немного от обсуждения полностью безвихревого течения, чтобы рассмотреть влияние, оказываемое на циркуляцию острой кормовой кромкой профиля.

Из наблюдений известно, что циркуляция вокруг профиля со скругленной передней кромкой и острой кормовой кромкой в установившемся поступательном движении не зависит от предыстории течения, и для наших целей можно предположить, что движение возникло из состояния покоя и профиль мгновенно приобрел конечную постоянную скорость без изменения направления своего движения. В начале движения профиля течение жидкости всюду безвихревое, так как перенос завихренности от поверхности профиля (где она возникает) происходит путем диффузии в вязкой жидкости, а также и конвективным путем и, следовательно, с конечной скоростью. Такое начальное

безвихревое движение характеризуется нулевой циркуляцией (согласно теореме Кельвина), и существует вполне определенное положение кормовой критической точки, которое зависит от заданной ориентации профиля по отношению к направлению его движения. Начальное положение кормовой критической точки в общем случае не совпадает с положением острой кормовой кромки, и в результате происходит обтекание этой кромки с бесконечной скоростью; течение вблизи нее вначале напоминает течение около плоской пластины, изображенное на рис. 6.7.1, а. Исключительно сильное замедление жидкости, движущейся в окрестности кормовой кромки в направлении к кормовой критической точке, немедленно приводит к развитию обратного течения в пограничном слое (который на этой стадии процесса еще очень тонок) и к его отрыву от этой кромки.

В следующей фазе движения завихренность, сходящая с кормовой кромки в оторвавшемся пограничном слое, воздействует на безвихревое течение вблизи кромки и изменяет его так, что скорость схода завихренности уменьшается. Такой процесс возникает вблизи любой острой кромки, и мы можем представить себе течение вблизи кормовой кромки в данный момент времени изолированно от остальной части жидкости. Форма и положение оторвавшегося пограничного слоя, сходящего с помещенной в потоке острой кромки сразу после начала ее движения, показаны на ряде фотографий (см. фото 5.10.5); дополнительные сведения о линиях тока с обеих сторон пограничного слоя даны на фото 6.7.2. До тех пор пока завихренность не уносится движущейся жидкостью от острой кромки, безвихревое течение локально имеет форму, описываемую комплексным потенциалом (6.5.2) при если эта кромка представляет собой точку возврата кривой (см. также рис. 6.5.1), а в последующие моменты времени завихренность, сходящая с кромки, видоизменяет это безвихревое течение в некоторой области вблизи кромки; размеры этой области непрерывно увеличиваются.

На рис. 6.7.3 сделана попытка схематично изобразить процесс развития течения вблизи кромки пластины и свертывания в спираль оторвавшегося пограничного слоя под влиянием индуцированной им скорости. Сходящая завихренность уносится от кромки движущейся жидкостью и поэтому необходимо ее постоянной пополнение за счет новой завихренности, стекающей с кромки, чтобы индуцировать такую скорость вблизи кромки, которая полностью погашала бы скорость, вызванную основным безвихревым течением с комплексным потенциалом Представляется возможным, что форма отделившегося от кромки пограничного слоя и линий тока остается приближенно подобной (автомодельной) с увеличивающимся со временем масштабом и с постоянной А в качестве единственного параметра,

Рис. 6.7.3. Схема линий тока при обтекании острой кромки пластины на различных стадиях после начала движения; а — полностью безвихревое течение, определяемое комплексным потенциалом то же безвихревое течение, измененное наличием в нем спиральной вихревой пелены (штриховая линия), которая содержит завихренность, сходящую с пограничных слоев на обеих поверхностях пластины (преобладает отрицательная завихренность с нижней поверхности пластины).

характеризующего течение, до тех пор пока область завихренности не становится столь большой, что она не может больше рассматриваться как наложение ее на безвихревое течение с комплексным потенциалом в форме

В третьей фазе интенсивная завихренность, сошедшая с кормовой кромки в начале движения, сносится вниз по потоку. Направление сошедшей завихренности совпадает с направлением течения вокруг выходной кромки в первоначально полностью безвихревом потоке (т. е. в направлении часовой стрелки на рис. 6.7.1, о), и очевидно, что вокруг профиля должна остаться циркуляция противоположного знака. Действительно, рассмотрим жидкий контур на рис. 6.7.4, достаточно большой, чтобы охватить как начальное положение профиля (которое приближенно совпадает с положением сошедшей с профиля завихренности), так

Рио. 6.7.4. Схема, показывающая, что циркуляция скорости вокруг профиля при установившемся движении равна по величине и противоположна по знаку потоку завихренности, сходящей с профиля.

и профиль в данный момент времени. Циркуляция по контуру вначале была равна нулю, и, следовательно, она остается равной нулю в данный момент времени. Таким образом, циркуляция по контуру равна по величине и противоположна по знаку потоку завихренности через площадь в которой практически содержится вся завихренность, сошедшая с профиля вплоть до рассматриваемого момента времени. Фотографии, подобные приведенным на фото 6.7.5, показывают, что унос вихрей фактически заканчивается после того, как профиль продвинулся вперед на расстояние одной или двух его длин в направлении потока, после того как его скорость стала постоянной. Поскольку жидкость, окруженная контуром находится всюду в состоянии безвихревого движения (за исключением тонкого пограничного слоя и следа, которые в установившемся движении содержат нулевой результирующий поток завихренности), то установившаяся циркуляция по контуру равна циркуляции вокруг профиля.

Таким путем устанавливается режим течения, в котором циркуляция вокруг профиля в установившемся движении отлична от нуля. Направление возникающей циркуляции (против часовой стрелки для профилей на рис. 6.7.1, 6.7.4 и фото 6.7.5) противоположно обтеканию острой кормовой кромки в начальном полностью безвихревом движении, и поэтому оно оказывается таким, чтобы вызвать смещение кормовой критической точки в направлении к острию кромки. Мы не можем определить точное значение циркуляции, возникающей вокруг профиля, путем анализа процесса уноса вихрей, но можем утверждать, что любое постоянное значение циркуляции, кроме значения, которое соответствует совпадению кормовой критической точки с острием кромки, немедленно приведет к описанной последовательности изменения в вихревом следе и вызовет дальнейшее изменение циркуляции всегда в таком направлении, чтобы совместить кормовую

критическую точку с острием кромки. Таким образом, циркуляция, определяемая гипотезой Жуковского, представляется единственно возможной величиной циркуляции для профиля при его установившемся движении.

Очевидно, что циркуляция, требуемая гипотезой Жуковского, зависит от скорости установившегося движения профиля, и поскольку эта гипотеза требует взаимного погашения двух слагаемых скорости обтекания острой кромки — от циркуляции и от движения самого профиля,— то эта циркуляция пропорциональна скорости профиля. (Равенство (6.7.1) показывает это в явном виде для случая пластины.) Из сказанного следует, что завихренность должна сходить с профиля всякий раз, когда его скорость изменяется, а не только когда он начинает движение из состояния покоя. На фото 6.7.6 видны замечательные эффекты начала движения профиля из состояния покоя и его мгновенной остановки вскоре после этого. Завихренность, сходящая в результате быстрого изменения скорости, обычно становится концентрированной, и удобнее говорить о «разгонном» вихре и, как на фото 6.7.6, о «тормозном» вихре. Разгонный и тормозной вихри в данном случае имеют равные по величине и противоположные по знаку интенсивности, и если профиль остается в состоянии покоя, то они впоследствии движутся под взаимным влиянием друг на друга с приближенно равными скоростями в направлении нормали к соединяющей их линии. Разгонный и тормозной вихри можно также легко продемонстрировать, погружая широкое лезвие ножа нормально к поверхности воды в сосуде и двигая его поперек плоскости лезвия, причем существование вихрей становится заметным по снижению поверхности воды в их центре.

Если с — характерный размер профиля, то циркуляция, требуемая по гипотезе Жуковского, должна иметь вид

коэффициент пропорциональности может зависеть только от формы профиля и его ориентации, определяемой углом а между направлением его движения и некоторой линией, фиксированной на профиле. Определение коэффициента пропорциональности и его зависимость от угла а (которая имеет отношение к управлению подъемной силой профиля с изменением режима полета) являются теперь полностью задачей теории безвихревого течения.