4.10. Уточненное уравнение Озеена для течения при малом числе Рейнольдса

Было показано, что при полном пренебрежении силами инерции в течении вокруг тела произвольной формы с линейным размером d, движущимся со скоростью скорость жидкости на больших расстояниях от тела имеет порядок Так как первый член в выражении (4.9.13) для силы инерции содержит производную первого порядка по координате, а сила вязкости зависит от производной второго порядка, то из этого следует, что локальная сила инерции, рассчитанная на основании этого решения, фактически сравнима по величине с силой вязкости, когда расстояние имеет порядок как и в ранее рассмотренном случае сферы.

Это критическое замечание об использовании уравнения (4.9.1), описывающего течение при движении тел в неограниченной жидкости, которая в других отношениях невозмущена, было сделано Озееном (1910), который, кроме того, показал, каким образом можно улучшить уравнение и тем самым устранить имеющееся противоречие. Улучшение Озеена применяется в случаях, когда тело движется с постоянной скоростью и течение

относительно тела установившееся; в таких случаях локальная сила инерции определяется выражением (4.9.13), а именно

где скорость жидкости, как и раньше в системе координат, неподвижной относительно жидкости на бесконечности. Так как первый из этих двух членов при больших преобладает и является причиной появления сил инерции, сравнимых при достаточно большом с силами вязкости, Озеен считал, что это единственное из двух слагаемых силы инерции, сохраняемое в уравнении движения. Второй член, который создает основные математические трудности в связи с его нелинейностью по и, снова опускается при когда с возрастанием величина уменьшается по крайней мере как и этот второй член продолжает оставаться малым по сравнению с силой вязкости, сколь бы большой ни была величина Вблизи тела оба слагаемых в выражении (4.10.1 имеют одинаковый порядок и будут малы по сравнению с силой вязкости при условии и в этой области предлагаемое уравнение будет столь же точным, что и уравнение (4.9.1).

Уравнения Озеена для течения, создаваемого движущимся телом при малых числах Рейнольдса, имеют вид

с граничными условиями

Хотя уравнения остаются линейными относительно зависимых переменных граничные условия нелинейны (относительно параметра и задачу значительно труднее решить, чем задачу (4.9.1) - (4.9.2).