4.2. Установившееся течение одного направления

Особенностью уравнения движения (4.1.6) или (4.1.8), которая вызывает наибольшие трудности для анализа, является его нелинейность по скорости и, входящей в выражение (2.1.2) для ускорения жидкого элемента при эйлеровом описании поля течения. Математические трудности, возникающие при рассмотрении полного уравнения движения, настолько велики, что большинство существующих решений получено только в условиях, в которых по каким-либо причинам эти уравнения сводятся к линейным. Среди простейших находятся случаи, в которых вектор скорости всюду имеет одно и то же направление и не изменяется по течению. Тогда конвективная производная скорости обращается тождественно в нуль и ускорение элемента жидкости равно и имеет лишь одну ненулевую компоненту.

Предварительно укажем точные условия, при которых скорость жидкости в длинной цилиндрической области имеет строго одно направление. Нас интересуют состояния, в которых движение основного потока в направлении оси х, параллельной образующим, установилось и не зависит от концевых эффектов, так что все три компоненты скорости в декартовой системе координат не зависят от х. Уравнение движения показывает, что градиент также не должен зависеть от х. Таким образом, компоненты скорости двумерного течения, которые никак не связаны с движением в направлении оси х. В таком движении может происходить вязкая диссипация энергии только в том случае, когда энергия непрерывно подводится к жидкости касательными напряжениями, развиваемыми на части границы, движущейся в направлении касательной, т. е., как можно легко показать, только когда

где ( — единичная нормаль к границе и интегрирование выполняется по замкнутой граничной кривой в плоскости поперечного сечения. Следовательно, если, например, граница будет твердой и либо неподвижной, либо движущейся в направлении оси х или. будет свободной поверхностью, на которой касательное напряжение равно нулю, то течение обязательно всюду направлено по оси х.

Положим теперь тогда уравнения движения (4.1.8) по осям сводятся к

где модифицированное давление, как было принято в § 4.1. Уравнение движения по оси х имеет вид

и так как в нем ни первый, ни последний члены не зависят от х, то можно написать

Когда функция положительна, градиент давления представляет собой постоянную массовую силу, действующую в положительном-направлении оси х.

В случае установившегося течения, которое будет рассматриваться в этом параграфе, производная величина есть постоянный градиент давления и уравнение (4.2.2) сводится к виду

Плотность жидкости не входит в уравнение (4.2.4), так как полное ускорение каждого элемента жидкости равно нулю. Каждый элемент жидкости находится в равновесии, поскольку речь идет о компонентах сил в направлении оси х, под действием нормальных напряжений (градиента давления), которые изменяются с изменением х, и касательных напряжений, вызываемых вязкостью, которые зависят от (Кроме того, может быть еще нормальное напряжение — скрытое из-за введения модифицированного давления, — изменение которого с изменением координат таково, что уравновешивает силу тяжести, действующую на каждый элемент.)

Теперь нужно решить уравнение (4.2.4), подчиняющееся граничным условиям, с помощью которых в общем случае задаются градиент давления и значения и при определенных