Использование функции тока для удовлетворения уравнения сохранения массы

В случаях течения несжимаемой жидкости и установившегося течения сжимаемой жидкости уравнение сохранения массы (2.2.2) сводится к утверждению, что дивергенция некоторого вектора равна нулю, а именно равны нулю дивергенции векторов и или Если наложить дополнительное ограничение, состоящее в том, что поле течения двумерное или осесимметричное, то дивергенция вектора представляет собой сумму только двух производных, и тогда можно считать, что уравнение сохранения массы определяет скалярную функцию, из которой путем дифференцирования получаются компоненты векторов и или Здесь мы рассмотрим только несжимаемую жидкость.

Рис. 2.2.1. К расчету объемного потока жидкости через кривую, соединяющую точку отсчета О и точку с координатами

Предположим сначала, что движение двумерное, так что вектор и его компоненты не зависят от Тогда из уравнения сохранения массы для несжимаемой жидкости

следует, что выражение есть полный дифференциал, равный, например, Следовательно,

и неизвестная скалярная функция определяется квадратурой

где постоянная, а криволинейный интеграл берется вдоль произвольной кривой, соединяющей некоторую исходную точку О и любую точку с координатами х, у. Таким образом, мы использовали уравнение сохранения массы для замены двух зависимых переменных одной зависимой переменной что дает весьма ценное упрощение во многих случаях двумерного течения.

Представляет интерес и физический смысл приведенного выше рассуждения. Объемный поток жидкости через кривую, которая соединяет точки в плоскости (х, у), в точности определяется правой частью выражения (2.2.8) (см. рис. 2.2.1). (Под объемным потоком подразумевается поток через незамкнутую поверхность, образующуюся путем параллельного перемещения этой кривой на единицу высоты вдоль оси причем поток считается положительным, если относительно точки он направлен против часовой стрелки.) Итак, объемный поток через замкнутую кривую, состоящую из любых двух несовпадающих путей интегрирования от точки О до точки обязательно равен нулю, если область, заключенная между ними, полностью занята несжимаемой жидкостью. Поэтому поток несжимаемой жидкости, определяемый

интегралом (2.2.8), не зависит от выбора пути, соединяющего точки и поэтому он определяет некоторую функцию координат точки которая уже записана в виде разности

Поскольку поток через любую кривую, соединяющую две точки, равен разности значений функции в этих точках, то функция вдоль линии тока постоянна; это также следует из соотношений (2.2.7) и соотношений (2.1.1), определяющих линии тока. Функция называется функцией тока, и она (в случае двумерного течения) была введена Лагранжем. Функцию можно также рассматривать как единственную ненулевую компоненту векторного потенциала для и (аналогичного векторному потенциалу магнитной индукции в теории электромагнитного поля, который также является соленоидальным вектором), поскольку (2.2.7) можно написать в виде

В механике жидкости общепринято изображать картину поля течения посредством различных линий тока, и если эти линии выбраны так, что два значения для каждой пары соседних линий тока отличаются на одинаковую величину, например то легко можно заметить закон, по которому величина скорости и ее направление изменяются по всему полю, поскольку прямо пропорциональна и обратно пропорциональна расстоянию между соседними линиями тока.

Примеры семейств линий тока, описывающих двумерные поля течений с равными интервалами значений функции между всеми парами соседних линий тока, приведены на рис. 2.6.2, 2.7.2 и др.

Выражения для компонент скорости вдоль любых ортогональных координатных линий можно непосредственно получить через функцию либо путем использования (2.2.9), либо с помощью соотношения между функцией и объемным потоком жидкости между двумя точками. В полярной системе координат путем вычисления потока между парами соседних точек на координатных линиях и и последующего приравнивания его к соответствующим приращениям функции (при этом учитываются знаки, согласно выражению находим

Читатель может установить полезное общее правило для двумерного течения, которое состоит в том, что дифференцирование функции в определенном направлении дает компоненту скорости, повернутую на 90° по часовой стрелке от этого направления.

Наконец, для двумерного течения несжимаемой жидкости нужно отметить, что функция может быть многозначной

функцией координат. Предположим, что через некоторый замкнутый контур в жидкости существует результирующий объемный поток жидкости этот поток может возникнуть в результате образования избыточного количества жидкости в области, ограниченной этим контуром (например, когда жидкость из трубки вытекает в эту область) или вследствие изменения объема части замкнутой области, не занятой жидкостью (например, когда газовая каверна, окруженная водой, расширяется или сжимается). Если теперь выбрать два различных пути, соединяющих две точки которые вместе образуют замкнутую кривую, охватывающую указанный контур, то объемные потоки через две объединенные кривые отличаются на величину в более общем случае, на величину где число, показывающее, сколько раз замкнутая кривая обходит внутренний контур). Тем самым разность в точке зависит от выбора пути, соединяющего эту точку с начальной точкой О, и она может принимать любое из ряда значений, кратных Такой вид многозначности скалярной функции связан с распределением скоростей в области, которая не является односвязной, и будет более подробно рассмотрен в § 2.8. Это присуще не только двумерному течению, хотя в последнем такая неоднозначность встречается чаще всего.

Если теперь течение симметрично относительно некоторой оси, скажем то уравнение сохранения массы для несжимаемой жидкости в цилиндрических координатах с соответствующими компонентами скорости имеет вид

Отсюда видно, что выражение полный дифференциал, равный, например,

Таким образом,

и функция определяется интегралом

где криволинейный интеграл берется вдоль произвольной кривой в осевой плоскости, соединяющей некоторую начальную точку О и точку с координатами Следует отметить, что азимутальная компонента скорости не входит в уравнение сохранения массы в случае осевой симметрии и ее нельзя получить из функции тока

течении, имеем

Согласно теореме Бернулли, величина

в установившемся изэнтропическом течении принимает одно и то же значение во всех точках линии тока. Поскольку не изменяется вдоль линии тока, известная функция координат (она равна в случае однородной силы тяжести), теорема Бернулли дает простое соотношение на линии тока между двумя важными переменными, скоростью и давлением Как мы увидим из последующих глав, это простое соотношение весьма полезно, когда сжимаемостью реальных жидкостей можно пренебречь.

Для совершенного газа мы имеем термодинамическое уравнение состояния (см. (1.7.15) и (1.7.19))

и интегральные выражения для и (1.7.21)). С их помощью находим

В этих соотношениях удельные теплоемкости и функции только температуры. В обычных условиях, описанных в § 1.7, величины и приближенно постоянны; в этих условиях связь между давлением и плотностью при изэнтропическом изменении состояния выражается формулой а

где Для газа, движущегося с большими скоростями (большими по сравнению со скоростями, получающимися при свободном падении в диапазоне рассматриваемых высот), влиянием массовой силы тяжести можно пренебречь, и тогда остается простое соотношение между скоростью q и температурой на любой линии тока в установившемся изэнтропическом течении. Газ теплее в тех местах на линии тока, где его скорость меньше, имеет максимальную температуру в критической точке (если она существует); произведение для совершенного газа с постоянными удельными теплоемкостями равно энтальпии торможения.

Если движение отнесено к осям, вращающимся с постоянной угловой скоростью мы должны предположить, что на единицу