Тело произвольной формы

Хотя трудно аналитически исследовать структуру течения, вызываемого движущимся телом любой формы, кроме сферической по этому вопросу имеются некоторые общие результаты. Следующие замечания относятся только к условиям, в которых силами инерции можно полностью пренебречь, т. е. к малым числам Рейнольдса.

Рассуждения, подобные тем, которые использовались в начале этого параграфа, показывают, что для тела произвольной формы при поступательном движении со скоростью как вектор скорости и, так и отношение линейны и однородны

относительно вектора Кроме того, изменение размера тела без изменения его формы приводит просто к изменению масштаба всего поля течения, так что для тела данной формы величины суть безразмерные функции от где характерный линейный размер тела.

Как касательное, так и нормальное напряжения в жидкости линейно зависят от поэтому результирующий вектор силы, приложенной к жидкости, определяется интегралом по поверхности тела

величина силы пропорциональна Уравнение (4.9.1), описывающее течение с пренебрежимо малыми силами инерции, эквивалентно равенству

и из применения формулы Остроградского — Гаусса следует, что интеграл (4.9.33) имеет одно и то же значение для любой поверхности в жидкости, охватывающей тело, и, в частности, для сферы достаточно большого радиуса с центром в начале координат. Следовательно,

где элемент телесного угла в направлении вектора х. Это равенство показывает, что в случае течения, вызванного движущимся телом, которое действует на жидкость конечной силой, разность давлений и тензор скоростей деформации должны уменьшаться при по крайней мере как

Мы знаем также, что является гармонической функцией, и ее можно представить рядом в виде (2.9.19). Первый ненулевой член этого ряда, очевидно, имеет степень так что асимптотически при имеем

числовой тензор, зависящий только от формы тела. Завихренность также удовлетворяет уравнению Лапласа и может быть записана в виде аналогичного ряда (с учетом того, что — аксиальный вектор). Члены одного и того же порядка в разложениях связаны уравнением (4.9.1), и можно убедиться, что если первый член ряда для равен то тот же член в случае со равен Следовательно, при будет

Наконец, мы можем получить асимптотическое выражение для скорости, которое определяется с помощью (4.9.36) (не считая слагаемого от безвихревого течения, величина которого не может быть больше если объемный поток через поверхность тела равен нулю) и с учетом требования соленоидальности скорости и. При находим

Теперь можно связать коэффициент с силой оценивая напряжение на сферической поверхности большого радиуса (см. (4.9.34)). Несложные выкладки приводят к результату

Оказывается, что, когда тело данной формы движется поступательно со скоростью для определения полной силы, действующей на жидкость, и асимптотических выражений давления и скорости, достаточно знать только числовой тензор

Из предыдущих вычислений известно, что в случае тела сферической формы радиуса состоящего из жидкости с коэффициентом вязкости ,

Течение на больших расстояниях от тела имеет осевую симметрию относительно направления вектора Следовательно, течение жидкости в этой области можно описать с помощью функции тока. В сферической системе координат при выборе оси вдоль вектора (который указывает также и направление действия силы из выражений (4.9.37) и (4.9.38) находим функцию тока

Теперь выражение (4.9.38) показывает, что величина имеет такой же порядок малости, что и величина которая по предположению мала по сравнению с единицей. Поэтому не удивительно, что мы вновь получили поле течения (4.6.18), вызываемое малой по сравнению с силой, приложенной к жидкости в начале координат. Когда тело произвольной формы движется через жидкость при малом числе Рейнольдса, поле течения на большом расстоянии от него зависит только от результирующей силы, действующей на жидкость, и непрерывное изменение положения самого тела не оказывает влияния на это поле.

Эти общие результаты имеют удобную для приложения форму в случае малой частицы, твердой или жидкой, свободно падающей

под действием силы тяжести. Если объем и плотность частицы известны, то распределения скорости и давления на большом расстоянии от нее можно получить непосредственно из выписанных выше формул, положив

точная форма частицы в данном случае не имеет никакого значения; по-видимому, также не имеет значения, перевертывается ли частица, изменяя свою ориентацию по отношению к направлению действия силы тяжести, а также движется ли она по траектории, которая не совпадает с вертикалью.

Иногда говорят, что поле течения, изображаемое функцией тока (4.9.39), вызвано «стокслетом» в начале координат (термин аналогичен «дуплету», «озеенлету»).

Упражнения

(см. скан)