Течение, вызываемое колебанием плоской границы

Демпфирующее и сглаживающее действие, присущее процессу вязкой диффузии, ясно видно для течения, производимого плоской твердой границей, движущейся в своей плоскости с синусоидальным законом изменения скорости. Предположим, что верхняя половина плоскости (х, у) занята жидкостью, причем твердая граница совпадает с и имеет скорость На практике движение жидкости начинается из состояния покоя, и некоторое время после начала движения поле скорости находится в «переходном режиме» и зависит от начальных условий. Можно показать, что скорость жидкости постепенно становится гармонической функцией времени t, изменяющейся с такой же частотой, как и скорость границы, и здесь будет рассматриваться именно это установившееся периодическое движение.

В соответствии со сказанным положим

где через обозначена действительная часть соответствующего комплексного выражения, причем комплексная форма записи используется только для удобства. Из (4.3.9) находим уравнение

единственное решение которого, остающееся конечным при имеет вид

Для того чтобы скорость жидкости при была равна скорости колеблющейся границы, нужно положить отсюда получим решение

Этот профиль скорости можно назвать затухающей поперечной «волной», длина которой равна «распространяющейся» в направлении оси у с фазовой скоростью и затуханием амплитуды колебаний по закону Способ, которым параметры входят в формулу длины волны и фазовой скорости, можно объяснить, заметив, что расстояние, на которое может распространиться изменение скорости за время t, имеет порядок формулу затухания колебаний объяснить труднее, если не привлекать обычных рассуждений теории размерности. Отношение амплитуд колебаний в двух точках, расположенных друг от друга на расстоянии одной длины волны, т. е. в двух соседних точках, в которых колебание происходит в одной

фазе, равно учитывая малость этого отношения, можно считать, что движение по существу ограничено «глубиной проникания», равной части длины волны, т. е. величиной порядка

Следует отметить, что благодаря линейности дифференциального уравнения и граничных условий полученное выше решение можно применить для любой гармонической компоненты скорости твердой границы и использовать его для построения решения в случае более общего закона периодического движения твердой границы.

Решение (4.3.16) имеет и другие непосредственные приложения, такие, как суточное изменение температуры в верхних слоях почвы под влиянием солнечной радиации. Можно принять величину коэффициента термодиффузии для почвы приблизительно равной при этом длина волны суточного изменения температуры (температура на поверхности берется в виде простой гармоники по времени равна приблизительно одному метру и суточные изменения температуры будут очень малыми на глубинах такого порядка. Кроме того, позже (в § 5.14) мы убедимся, что при некоторых условиях течение в окрестности поверхности твердого тела при его поступательных колебаниях приближенно описывается решением (4.3.16) и что работа, совершаемая против сил трения за один период движения тела, может быть получена исходя из этого решения.