Равновесная форма границы между двумя неподвижными, жидкостями

Обратимся теперь к краткому рассмотрению влияния натяжения, которое существует на границе жидкости. Нас интересует только случай, когда жидкость граничит с жидкостью (или газом), поскольку только в этом случае граница будет подвижной. Предположим, что две жидкости неподвижны и находятся в термодинамическом равновесии, так что натяжение равномерно на всей поверхности раздела. Задача заключается в том, чтобы определить геометрическую форму поверхности раздела, удовлетворяющую условию механического равновесия. Оказывается, что сделать это очень трудно, за исключением небольшого числа специальных случаев.

Предварительно отметим, что искривленная поверхность в состоянии растяжения испытывает напряжение по нормали к ней, как видно из опыта с растянутой резиновой лентой. Чтобы рассмотреть влияние натяжения вблизи точки О поверхности, проведем через нее касательную плоскость и возьмем ее в качестве плоскости (х, у) прямоугольной системы координат Тогда имеем уравнение поверхности

где функция и ее первые производные равны нулю в точке ОВ точках, близких к О, единичная нормаль к поверхности имеет компоненты

с точностью до величин первого порядка малости относительно Результирующая сил растяжения, действующих на часть поверхности, содержащую точку О, равна

где линейный элемент замкнутой кривой, ограничивающей указанную часть поверхности. В случае части плоской поверхности (нормаль к которой везде одинакова) эта сила равна нулю, т. е. натяжение само себя уравновешивает; в случае части искривленной поверхности малой площади результирующее натяжение определяется величиной меньшего порядка по сравнению

с линейным размером элемента поверхности. С точностью до величин второго порядка малости по этому линейному размеру результирующая сила параллельна оси параллельна нормали в точке О, и равна

Другими словами, натяжение, действующее поперек кривой, ограничивающей элемент поверхности, эквивалентно давлению на поверхность, величина которого равна

где радиусы кривизны кривых, получающихся при пересечении поверхности двумя ортогональными плоскостями, содержащими ось Как известно, сумма не зависит от направления этих плоскостей и обычно удобно брать в качестве главные радиусы кривизны поверхности. Величины нужно, конечно, брать с соответствующими знаками, учитывая, что добавок в эквивалентное давление на поверхности направлен к центру кривизны в каждом случае.

Поскольку можно считать, что поверхность раздела имеет нулевую массу, она может находиться в равновесии только в том случае, когда эффективное давление, обусловленное поверхностным натяжением, компенсируется равной ему по величине и противоположной по знаку разностью между давлениями в жидкостях по обе стороны от поверхности раздела. Следовательно, в любой точке поверхности раздела должен быть скачок давления

при переходе на ту сторону поверхности, с которой расположен центр кривизны.

Примером очевидной равновесной формы поверхности раздела может служить масса одной жидкости, окруженная другой жидкостью, вроде капель воды в воздухе (туман) или пузырьков газа в воде. Если объем капли или пузырька, или разность плотностей по обе стороны поверхности раздела достаточно малы, то влиянием силы тяжести можно пренебречь. Тогда давление в каждой из жидкостей будет одинаковым и скачок давления (1.9.2) по всей поверхности раздела будет постоянным. Неограниченная поверхность с постоянной суммой главных кривизн представляет собой сферу, и она должна быть равновесной формой искомой поверхности. Этот вывод следует также из того факта, что в состоянии (устойчивого) равновесия энергия поверхности должна быть минимальной для данного объема капли или пузырька, а сфера

Рис. 1.9.1. Равновесие на линии контакта трех различных сред.

представляет собой как раз такую замкнутую поверхность, которая имеет наименьшую площадь при данном объеме.

Предположим теперь, что поверхность раздела отделяет газ, в котором давление можно считать постоянным, от жидкости постоянной плотности в которой изменение давления по высоте z вследствие влияния силы тяжести определяется по формуле (1.4.12) для несжимаемой жидкости. В таком случае условие равновесия в любой точке поверхности раздела есть

причем выбраны здесь положительными, когда соответствующие центры кривизны расположены с той стороны поверхности раздела, где находится газ. Из уравнения (1.9.3) нелегко определить форму поверхности, однако его ценность состоит в том, что из него сразу виден единственный характерный параметр с размерностью длины. Для чистой воды этот параметр при нормальных температурах приблизительно равен 0,27 см и дает масштаб, в котором влияние поверхностного натяжения на форму поверхности раздела воздух — вода может быть сравнимым с влиянием силы тяжести.

Поверхности раздела жидкости и газа, к которым применимо условие (1.9.3), представляют собой обязательно незамкнутые поверхности, и на практике они обычно ограничены линией, вдоль которой соприкасаются три среды — как, например, в случае капли ртути, покоящейся на столе. Известные свойства такой линии тройного контакта используются в качестве граничных условий при интегрировании уравнения (1.9.3) для определения формы поверхности. На линию контакта оказывают воздействия натяжения трех разных поверхностей, и, поскольку она не обладает массой, результирующий вектор этих трех сил натяжения должен давать нулевую составляющую в любом направлении, в котором линия контакта может двигаться (рис. 1.9.1, а); если направление нормали к одной из трех поверхностей, встречающихся

Рис. 1.9.2. Свободная поверхность жидкости на границе с вертикальной плоской стенкой.

на линии контакта, задано, то можно определить два других направления. В случаях, когда

ясно, что условия равновесия линии контакта не могут выполняться. Эти условия выполняются для линзовидных капелек жира на поверхности супа, однако в случае капли нефти на свободной поверхности воды натяжение поверхности раздела воды и воздуха оказывается слишком сильным по сравнению с натяжением двух границ капли нефти, и она неограниченно растекается до тех пор, пока нефть не покроет всю поверхность воды или пока толщина ее слоя не достигнет размеров молекул. Подобным же образом бензин или вода, содержащая смачивающие добавки, не могут образовывать изолированные капли на некоторых твердых поверхностях и растекаются по ним в виде очень тонкого слоя.

Когда одна из трех сред твердая (например, среда с номером 1 на рис. 1.9.1, б), поверхность этой среды локально обычно бывает плоскостью и линия контакта может свободно двигаться только в направлении, параллельном твердой поверхности. В таком случае единственным условием равновесия является

из которого находится угол контакта 0. Если среда 2 — воздух, а среда 3 — жидкость, то жидкость называют смачивающей твердое тело, если (как в случае чистой воды, смачивающей большинство твердых тел, таких, как стекло, в отличие от ртути, для которой на многих твердых телах), хотя нет никакого особого значения величины и более разумно

рассматривать степень смачиваемости, считая ее увеличивающейся по мере уменьшения до нуля угла контакта 0.

Полную задачу определения формы поверхности раздела можно теперь продемонстрировать на примере свободной жидкости, соприкасающейся с твердой вертикальной плоской стенкой (рис. 1.9.2). В случае двумерной области уравнение поверхности раздела имеет вид и главные кривизны поверхности раздела равны

где штрихи означают дифференцирование по у. Следовательно, уравнение (1.9.3) приводится к виду

причем постоянная в правой части принята равной нулю, так как поверхность раздела становится плоской при достаточном удалении от стенки, где Выполняя одно интегрирование, получаем

то же граничное условие показывает, что Из этого следует, что высота, на которую жидкость поднимается на твердой стенке, определяется формулой

при этом угол контакта для жидкости известен для данных сред. Граничное условие можно в дальнейшем использовать для определения постоянной при повторном интегрировании, в результате которого находим

где

Тот факт, что свободная поверхность жидкости поднимается или опускается при соприкосновении с твердой стенкой (на величину, зависящую от угла наклона стенки к вертикали и от угла контакта жидкости с ней), представляет собой основу явления, известного вообще как капиллярность, которая проявляется в малых трубках и узких щелях. Рассмотрим, например, круглую трубку малого радиуса а, содержащую жидкость со свободной поверхностью (рис. 1.9.3). Поверхность жидкости подходит к стенке под углом контакта и очевидно, что, когда радиус

Рис. 1.9.3. Капиллярный подъем жидкости в тонкой трубке.

кривизны осевого сечения свободной поверхности приближенно постоянен и равен (отклонение поверхности от сферической формы будет проявляться только за счет относительно малого изменения давления жидкости на поверхности вследствие влияния силы тяжести). Натяжение на этой сильно искривленной поверхности создает большой скачок давления при переходе через поверхность раздела, и если трубка открыта и погружена вертикально в жидкость со свободной поверхностью большего размера, то в трубке, несмотря на действие силы тяжести, поднимется значительный столб жидкости. Условие равновесия такого столба высотой определяется приближенно равенством

т. е.

Следовательно, величина может быть очень большой в случае очень тонких каналов в пористых материалах, таких, как промокательная бумага, кирпич или почва, которые, как известно, оказывают сильное всасывающее действие при смачивании их жидкостью, подобной воде. В случае жидкости, которая не смачивает стенку трубки, угол контакта и получается что соответствует опусканию уровня свободной поверхности в трубке. Отметим, что, когда трубка расположена не вертикально, равенство (1.9.6) определяет величину смещения свободной поверхности в вертикальном направлении.