Эффективная объемная вязкость жидкости, содержащей газовые пузырьки

В качестве интересного дополнения к предыдущему анализу рассмотрим теперь реакцию суспензии на заданное объемное движение, когда частицы (но не окружающая жидкость) имеют возможность сжиматься.

Предположим, что объем V жидкости, содержащей большое число малых газовых пузырьков в суспензии, подвергается чисто деформационному движению границ, определяемому, как и раньше,

тензором скоростей деформаций хотя в данном случае Если бы суспензия была однородной жидкостью, то скорость расширения всюду в объеме V равнялась бы А, но в действительности расширение происходит только в пузырьках газа. Вблизи любого сферического пузырька радиуса а относительное движение в жидкости, обусловленное расширением этого пузырька, имеет сферическую симметрию с радиальной скоростью

В вязкой жидкости возникают связанные с этим движением напряжения и, в частности, имеется нормальное напряжение на поверхности пузырька, равное которое препятствует его расширению. В результате этого давление внутри пузырька отличается от давления в жидкости на некотором расстоянии от пузырька на величину, которая зависит от скорости расширения, и механическое давление, приложенное на границе суспензии, отличается от давления, которое можно было бы получить исходя из равновесного уравнения состояния для суспензии при данном мгновенном значении ее плотности независимо от формы этого уравнения. Это в точности такая реакция, которая соответствует объемной вязкости суспензии (см. § 3.4).

Оценка эффективного значения коэффициента объемной вязкости может быть выполнена таким же способом приравнивания выражений полной диссипации, которая была бы в однородной сжимаемой жидкости, и полной диссипации, создаваемой обычной вязкостью в несжимаемой жидкости, окружающей пузырьки. Расчет намного проще в этом случае, поскольку диссипация в жидкости оказывается сильнее сконцентрированной в окрестности пузырьков и может быть получена непосредственным интегрированием.

В точке на расстоянии от центра одного пузырька, где радиальная скорость жидкости равна и одна главная скорость деформации есть а две другие одинаковые главные скорости должны быть равны Следовательно, локальная скорость диссипации на единицу объема жидкости есть

где Полная скорость диссипации в жидкости, создаваемая одним пузырьком, есть

а скорость диссипации суспензии в объеме V, содержащей ряд сферических пузырьков, равна

В то же время если мы представим суспензию однородной жидкостью, совершающей симметричное расширение с однородной скоростью расширения то в жидкости не будет диссипации, создаваемой обычной вязкостью сдвига, и, согласно формуле (3.4.9), скорость диссипации на единицу объема вследствие существования объемной вязкости х будет равна Тогда эффективный коэффициент объемной вязкости суспензии

Расширение суспензии связано с изменением объема каждого пузырька, и поэтому

причем суммирование производится, как и раньше, по всем пузырькам в объеме Следовательно, имеем

В простом случае газовых пузырьков равного диаметра и с одинаковым содержанием (так что все они расширяются с равной скоростью) в единице объема суспензии имеем

где а — мгновенная концентрация частиц в объеме. Нереальное свойство модели, приводящее к тому, что при а О, устраняется при учете сжимаемости жидкости.

Помимо того, что полученные результаты имеют некоторое практическое значение, анализ этого параграфа указывает на определенный вид связи, которая существует между микроскопическими свойствами среды, в данном случае — существованием частиц известной формы и состава, и макроскопическими свойствами эквивалентной однородной жидкости. Наблюдаемые макроскопические свойства среды часто становятся более понятными, если можно вообразить некоторую ее микроскопическую структуру, которая могла бы приводить к данному макроскопическому, поведению среды, и изобретение микроскопических моделей представляет собой обычное упражнение в теоретической реологии, особенно при изучении свойств неньютоновых жидкостей.