Течение Пуазейля

Течение в длинной трубе кругового сечения под действием разности давлений на концах трубы было изучено Гагеном в 1839 г. и Пуазейлем в 1840 г. Можно считать, что течение, как и граничные условия, имеет осевую симметрию, так что — функция только расстояния от оси трубы. Соответствующее решение Уравнения (4.2.4) таково:

При в этом решении имеется нереальная особенность (связанная с конечной силой, действующей на жидкость на единицу

длины отрезка оси), если постоянная А не равна нулю; поэтому выберем именно это значение А. Выбирая постоянную В такой, чтобы получить на границе трубы при находим

Практический интерес представляет объемный поток жидкости через любое сечение трубы, величина которого

где (модифицированные) давления в начальном и концевом сечениях отрезка трубы, имеющего длину Гаген и Пуазейль установили в экспериментах с водой, что поток зависит от первой степени перепада давления и четвертой степени радиуса трубы (половина этой степени получается вследствие зависимости площади поперечного сечения трубы от ее радиуса, а другая половина связана с увеличением скорости и для данной результирующей силы вязкости при увеличении радиуса трубы). Точность, с которой получено постоянство отношения в наблюдениях, убедительно подтверждает предположение об отсутствии скольжения частиц жидкости на стенке трубы, а также косвенно подтверждает гипотезу о линейной зависимости вязкого напряжения от скорости деформации в данных условиях.

Касательное напряжение на стенке трубы равно

так что полная сила трения в направлении течения на участке трубы длиной I равна

Такого выражения для полной силы трения на стенке трубы и следовало ожидать, так как все элементы жидкости внутри этой части трубы в данный момент времени находятся в состоянии установившегося движения под действием нормальных сил на двух концевых сечениях и силы трения на стенке трубы. Кроме того, из выражения (4.1.5) видно, что скорость диссипации механической энергии на единицу массы жидкости под влиянием вязкости определяется в данном случае выражением

Таким образом, полная скорость диссипации в жидкости, заполняющей в данный момент отрезок круговой трубы длиной I, равна

В случае, в котором среда в трубе представляет собой капельную жидкость и на обоих концах трубы действует атмосферное давление (как если бы жидкость поступала в трубу из мелкого открытого резервуара и вытекала из конца трубы), градиент давления вдоль трубы создается силой тяжести. Абсолютное давление в данном случае одно и то же на обоих ее концах и поэтому постоянно во всей жидкости, так что модифицированное давление равно а и

где угол наклона трубы к направленной вниз вертикали. Приведенное выше выражение для скорости диссипации в жидкости, занимающей отрезок трубы длиной I, равно скорости, с которой та же масса жидкости теряет потенциальную энергию силы тяжести, как и должно быть.