Теоремы единственности и минимума диссипации энергии
Докажем, что в заданной области не может быть больше одного решения для распределения скоростей течения с малыми силами инерции и заданными величинами вектора скорости на границе области (включая гипотетическую границу на бесконечности, когда жидкость имеет бесконечную протяженность). Доказательство это по форме весьма похоже на использованноз в § 2.7 при установлении единственности решения для потенциала 
соленоидального безвихревого поля скорости с заданными граничными условиями. С доказательством непосредственно связан интересный результат, который состоит в том, что течение с малыми силами инерции обладает наименьшей общей скоростью диссипации из всех других течений несжимаемой жидкости в той же области при одних и тех же значениях вектора скорости всюду на границе области. (Оба результата были установлены Гельмгольцем (1868 а).)
Сначала предположил, что 
и 
два набора распределений скоростей, давлений и тензора скоростей деформации в определенной области, которые удовлетворяют уравнениям (4.8.1) и (4.8.2); предположим, далее, что во всех точках на границе 
области 
Тогда
Этот результат показывает, что величины скоростей деформации 
всюду в области должны быть равны. Следовательно, разность скоростей 
представляет движение, в котором никакой элемент жидкости не деформируется и которое должно
быть комбинацией поступательного и вращательного движений жидкости как твердого тела; такое движение исключается граничными условиями, так что всюду в области 
Предположил! теперь, что 
удовлетворяют уравнениям (4.8.1) и (4.8.2) и что 
соответствуют любому другому течению несжимаемой жидкости в той же самой области (т.е. 
но уравнение (4.8.1) не удовлетворяется); как и раньше, 
во всех точках на границе области. Аналогично предыдущему убеждаемся, что
Полная скорость диссипации механической энергии под влиянием вязкости во всей области течения, скорость которого равна 
есть
и представляет собой сумму полной скорости диссипации, соответствующей течению со скоростью 
и неотрицательного члена, который равен нулю только при 
Таким образом, скорость диссипации, соответствующая течению в данной области с пренебрежимо малыми силами инерции, меньше скорости диссипации в любом другом соленоидальном распределении скорости в той же области (включая и распределения, которые удовлетворяют полным уравнениям движения) с одними и теми же значениями скорости во всех точках на границе области.
Упражнения
(см. скан)
