5.13. Колеблющиеся пограничные слои

В многочисленных прикладных задачах при больших числах Рейнольдса скорость течения изменяется периодически со временем; часто это происходит вследствие вынужденного колебания твердой границы. Для некоторых периодических течений уравнения движения допускают линеаризацию, что позволяет получить ряд интересных результатов. Основное предположение, которое применяется здесь для потока со средней нулевой скоростью, имеет следующий вид:

Если скорость изменяется всюду по периодическому закону с частотой и характерной амплитудой и если через обозначить расстояние вдоль линии тока, на котором скорость и заметно изменяется, то величина имеет порядок (т. е. поперек линий тока в пограничном слое имеются большие градиенты скорости и условие (5.13.1) будет выполняться при

В случаях, когда периодическое изменение скорости жидкости вызвано поперечным колебанием твердой границы с амплитудой порядка скорость имеет порядок и условие (5.13.2) эквивалентно условию

(Чтобы распределение скорости оставалось не зависящим от сжимаемости жидкости, как мы и будем предполагать здесь, должно выполняться условие где — скорость распространения звуковых волн в жидкости; это условие обсуждалось в § 3.6.)

Как известно, завихренность возникает исключительно на границах тела, и если имеется чисто периодическое движение

жидкости относительно границы, то возникающая завихренность будет попеременно положительной и отрицательной. В этих условиях разумно принять, по крайней мере в качестве приближения, что в течение одного цикла в сумме не порождается никакой завихренности и что завихренность равна нулю всюду, кроме узкой области вблизи границы, где чередующиеся слои отрицательной и положительной завихренности диффундируют одновременно и взаимно уничтожаются. Время диффузии завихренности одного знака от границы равно так что толщина слоя ненулевой завихренности имеет порядок Введем условие

которое эквивалентно предположению о том, что число Рейнольдса велико по сравнению с единицей. В случае твердой плоской границы, колеблющейся в собственной плоскости, в § 4.3 была получена явная оценка для глубины проникания завихренности, а именно

При течение почти всюду безвихревое, и, следовательно, зная мгновенные скорость и положение границы, можно определить потенциал скорости. В соответствии с этим безвихревым течением на границе должна существовать ненулевая касательная компонента скорости жидкости относительно этой границы; эту компоненту в случае синусоидального колебания можно записать как действительную часть выражения где комплексная величина изменяется в зависимости от координаты на границе; указанная касательная скорость теперь служит скоростью «внешнего потока» по отношению к пограничному слою ненулевой завихренности. Таким образом, имея в виду, что приближение (5.13.1) справедливо как внутри, так и вне пограничного слоя, для течения в пограничном слое получаем уравнение (см. (5.7.1) и

где действительная часть комплексной величины и представляет собой компоненту скорости относительно границы, параллельную ей (направление этой скорости совпадает с направлением «внешнего потока»); через у обозначено расстояние по нормали к границе.

Граничные условия для и суть

и условие на твердой стенке

Из уравнения (5.13.5) и выписанных граничных условий следует, что зависимость от в заданной точке на поверхности тела точно такая же, что и распределение скорости в покоящейся на бесконечности жидкости, ограниченной бесконечной плоской стенкой, скорость которой параллельна этой стенке и равна действительной части выражения таким образом, используя (4.3.16), имеем

где для удобства записи мы положили

Тот факт, что изменяется в зависимости от координаты на границе, не влияет на местное распределение величины и, поскольку мы предполагали, что толщина пограничного слоя мала по сравнению с длиной на которой заметно изменяется. Полученный внешний безвихревой поток и связанное с ним течение в пограничном слое (5.13.6) дают приближение для полного распределения скорости течения в предположениях (5.13.2) и (5.13.4).