Линейное соотношение между потоком и градиентом скалярной интенсивности

Рассмотрим сначала случаи, в которых соответствующая интенсивность представляет собой скалярную величину (а именно количество отмеченных молекул или температуру), которую обозначим С (как это принято для концентрации). Предполагается, что С — непрерывная функция координаты х в веществе и, возможно, также времени t, хотя время не будет оказывать явного влияния на процесс переноса в фиксированный момент времени. Теперь результирующий поток величины, связанной со скалярной величиной С, через элемент поверхности в веществе на единицу ее площади представляет собой локальную величину, которая изменяется с изменением направления нормали к поверхности элемента, точно так же, как компонента некоторого вектора в направлении нормали Это формально следует из рассуждения, подобного тому, которое приводит к выражению (1.3.4) для напряжения: сумма направленных внутрь потоков через три ортогональные грани малого тетраэдра отличается от потока,

выходящего из тетраэдра во внешнюю часть пространства через его наклонную грань, только на величину порядка объема тетраэдра. Следовательно, результирующий поток (перенос в секунду) через элемент поверхности с площадью и нормалью равен произведению

где поток зависит от х (и, возможно, также от времени t), но не зависит от нормали

Наша задача состоит в том, чтобы установить соотношение между двумя функциями координат, . О прямом вычислении потока, исходя из рассмотрения молекулярного процесса, почти не может быть и речи для жидкостей и твердых тел, и лишь в случае газов (рассматриваемом в следующем параграфе) такое вычисление оказывается отчасти успешным. Требуется ввести некоторое предположение, и лучше всего независимое от действительного характера основного молекулярного механизма, чтобы оно было применимо для возможно широкого круга веществ. Это предположение, к изложению которого мы сейчас приступаем, первоначально основывалось на измерениях переноса в конкретных физических задачах и использовалось только в таких задачах, однако затем было обнаружено, что оно имеет более общее значение.

Первая часть нашего предположения заключается в том, что для достаточно плавного и постепенного изменения величины интенсивности С относительно некоторой точки в веществе поток зависит только от локальных свойств среды и локальных значений Идея здесь проста: перенос через элемент поверхности определяется движениями молекул и их взаимодействиями в окрестности элемента поверхности и во всей этой области величина С может быть аппроксимирована линейной функцией координат, если удовлетворяется некоторое условие: отношение

значительно больше характерной длины молекулярного движения или взаимодействия, как обычно и бывает на практике. Вторая часть предположения состоит в том, что для достаточно малых значений поток изменяется линейно с изменением компонент вектора Известно, что поток обращается в нуль в случае обращения в нуль так что наше предположение можно выразить в виде

Как поток так и производная векторы, а требование о том, чтобы соотношение (1.6.1) было справедливо при любом выборе системы координат, показывает, что коэффициент

переноса представляет собой тензор второго порядка. Коэффициент зависит от локальных свойств вещества (т. е. от локального термодинамического состояния вещества) и, возможно, также от локального значения С, но не от градиента С математической точки зрения соотношение (1.6.1) можно рассматривать как предположение о том, что в разложении вектора в ряд Тейлора по компонентам вектора члены второго и более высокого порядка малости пренебрежимо малы.

Это общее предположение можно дополнить другими предположениями, опирающимися на известные свойства конкретных материалов. Для однородных материалов коэффициенты могут зависеть от координат точки только посредством зависимости от локального значения обращение направления вектора должно приводить к обращению направления потока поэтому в рассматриваемом случае члены второй и других четных степеней ряда Тейлора для вектора тождественно равны нулю. Молекулярная структура многих материалов статистически изотропна и для них коэффициент должен иметь такую форму, чтобы свойства материала во всех направлениях были одинаковыми. Тогда любые ортогональные оси координат должны быть главными осями коэффициента а это возможно только в случае

(Другими словами, можно утверждать, что в изотропной среде вектор должен быть параллелен вектору так как нет никаких оснований для выбора другого направления вектора и это вновь подтверждает необходимость равенства (1.6.2) для Скалярный коэффициент к положителен, как принято в соотношениях (1.6.1) и (1.6.2), если считать поток положительным, когда он направлен по нормали так как величина, связанная с величиной С, переносится против направления ее градиента.

Проверка предположения (1.6.1), а также равенства (1.6.2) там, где это возможно, и определение области значений модуля в которой соотношение (1.6.1) верно, — это в основном задачи эксперимента. Характер проверки изменяется в соответствии с той физической величиной, перенос которой рассматривается, однако для всех них линейная зависимость (1.6.1) оказывается достаточно точной для большинства известных или встречающихся на практике значений Исследование причин, по которым отклонения от постоянной интенсивности С обычно столь малы, что обеспечивают необходимую точность зависимости (1.6.1), требует рассмотрения сложного молекулярного механизма, и поэтому

здесь мы ограничимся тем, что будем считать зависимость (1.6.1) эмпирической. Различные соотношения, соответствующие равенству (1.6.1) при различном выборе смысла интенсивности С, известны как определяющие уравнения, поскольку они выражают физические свойства рассматриваемого вещества.