Представление потенциала степенным рядом

Точное выражение функции использовалось выше для того, чтобы показать стремление к постоянному значению на бесконечности. Кроме того, оно представляет и самостоятельный интерес, так как дает явное представление функции всюду в жидкости в зависимости от условий на внутренней границе. (Отметим, однако, что выражение (2.9.16) не определяет в явном виде функцию только через нормальную компоненту на внутренней границе; в него входит также и распределение функции На первый взгляд кажется, что это не согласуется с теоремой единственности, которая указывает, что функция определяется единственным образом с точностью до аддитивной постоянной по заданному распределению скорости на внутренней границе. Объяснение состоит в том, что распределения скорости и функции на внутренней границе не являются независимыми, и в принципе одно из них можно исключить.)

Воспользуемся выражением (2.9.16) для представления функции степенным рядом по в котором первым членом возьмем константу С. Сначала разложим функцию в ряд Тейлора по

который, очевидно, сходится при случаях, когда а следовательно, и для значений угла между векторами Ряд (2.9.18) можно подставить в выражение (2.9.16) и выполнить почленное интегрирование при условии, что при интегрировании превосходит наибольшее значение в результате получим

где

Написанные интегралы берутся по всей внутренней границе жидкости, элемент которой обозначается далее через без индекса 1.

Этот интересный ряд показывает, что в области вне сферы с центром в начале координат, содержащей внутреннюю границу, потенциал можно записать в виде суммы слагаемых с целыми степенями каждое из которых удовлетворяет уравнению (так как удовлетворяет этому уравнению и, следовательно, ему удовлетворяют все производные от по координатам) и каждое из которых представляет собой потенциал, обусловленный точечной особенностью, расположенной в начале координат и составленной из точечных источников, как было описано ранее в § 2.5. Система независимых решений

уравнения имеет фундаментальное значение в теории гармонических функций, и они известны как объемные сферические функции (гармоники) степени Соответствующие коэффициенты при в общем виде

зависят только от направления вектора х или, что равносильно, от положения точки на сфере с центром в начале координат и известны как поверхностные сферические функции (гармоники) целого порядка. Из уравнения Лапласа в сферических координатах (см. приложение 2) непосредственно следует, что если произведение есть решение, то решением будет также и функция

это значит, что каждой объемной сферической функции степени соответствует такая же функция степени целое положительное число). Объемные сферические функции отрицательной степени необходимы и достаточны для представления потенциала в виде степенного ряда вне сферы в области, простирающейся в бесконечность, где жидкость находится в состоянии покоя, в то время как функций положительного порядка достаточно в области внутри сферы. В области, ограниченной сферами как изнутри, так и извне, необходимы оба типа функций.

Следует отметить, что второй член в правой части ряда (2.9.19) (который становится первым в соответствующем разложении для выражает поле скоростей, связанное с точечным

источником интенсивности в начале координат. Другими словами, влияние результирующего потока скорости через внутреннюю границу на больших расстояниях от нее преобладает, и скорость оказывается такой же самой, как если бы поток возникал в одной-единственной точке (точное положение этой точки произвольно, поскольку рассматривается главный член разложения для скорости Как уже отмечалось, в наиболее распространенных случаях жидкость ограничена изнутри твердой границей и для безвихревого течения несжимаемой жидкости (для которого скорость есть действительная скорость жидкости) вне гакой границы результирующий поток обязательно равен нулю; следовательно, на больших расстояниях от границы скорость имеет порядок Такое же заключение справедливо и в более общих случаях, когда отличны от нуля, а скорость есть одно из трех слагаемых действительной скорости жидкости, так как можно показать, что результирующий объемный поток через твердую внутреннюю границу, соответствующий слагаемым равен нулю. Этот поток равен

где интеграл по объему берется по области внутри замкнутой твердой границы; слагаемые не имеют прямого физического смысла в этой области, однако они определяются в точках х этой области выражениями (2.4.5) и (2.4.11) и являются в ней соленоидальными векторами. Таким образом, величина определяемая выражением (2.9.10), представляет собой действительный результирующий поток жидкости через внутреннюю границу, и он должен быть равным нулю, когда внутренняя граница твердая и непроницаемая.