3.3. Выражение для тензора напряжений

Механическое определение давления в движущейся жидкости

В § 1.3 было показано, что в покоящейся жидкости действуют только нормальные напряжения, причем они не зависят от направления нормали к элементу поверхности, на который они действуют, и тензор напряжений имеет вид

где статическое давление в жидкости, которое может зависеть от координат. Нет оснований ожидать, что это справедливо для движущейся жидкости, и наблюдения показывают, что это действительно не так: в движущейся жидкости касательные напряжения в общем случае отличны от нуля, а нормальная компонента напряжения, действующего на элемент поверхности, зависит от направления нормали к элементу. Простое представление о давлении, действующем одинаково во всех направлениях, неприемлемо в большинстве случаев движущейся жидкости.

Тем не менее полезно иметь подходящую скалярную величину, характеризующую движущуюся жидкость, которая аналогична статическому давлению в том смысле, что является мерой локальной интенсивности «сжатия» жидкости. Такая величина определяется в любой ортогональной системе координат как средняя трех нормальных напряжений знаком минус). Из тензорной алгебры известно, что величина инвариантна относительно вращения осей координат, и этой величине можно дать физическую интерпретацию, не связанную ни с какой специальной системой координат. Среднее значение нормальной компоненты напряжения на элементе поверхности в точке х по всем направлениям нормали к элементу равно

где элемент телесного угла вокруг нормали можно сказать, что величина представляет собой среднее значение нормальной компоненты напряжения по поверхности малой сферы с центром в точке х. Таким образом, величина которая сводится к статическому давлению, когда жидкость покоится, имеет механический смысл и позволяет обобщить элементарное понятие «давления» на состояние, в котором нормальная компонента напряжения зависит от направления нормали к элементу поверхности. В силу сказанного определим давление в точке движущейся жидкости как среднее нормальное

напряжение, взятое с обратным знаком; для него удобно сохранить обозначение

Следует отметить, что это чисто механическое определение давления, и на основании такого определения пока ничего нельзя сказать о связи между этой механической величиной и термодинамическим понятием давления. Точная связь между ними не проста, поскольку термодинамические соотношения, такие, как уравнение состояния жидкости, относятся к равновесным условиям, в то время как элементы жидкости в относительном движении не находятся в строгом термодинамическом равновесии. Величина, которую мы назвали давлением в движущейся жидкости, является ее реальным параметром и доступна прямому наблюдению, в то время как любая величина, рассчитанная на основании равновесных соотношений, представляет собой в лучшем случае приближение к реальному параметру движущейся жидкости. К этому вопросу мы вернемся в § 3.4 при обсуждении применимости равновесных термодинамических соотношений.

Теперь удобно представить тензор напряжений в виде двух частей: изотропной, имеющей такую же форму, как и тензор напряжений в покоящейся жидкости (хотя величина для движущейся жидкости не обязательно будет такой же), и неизотропной части, в которую входят касательные напряжения и некоторые диагональные члены, в сумме равные нулю,

Неизотропная часть может быть названа девиатором напряжений, и его существование связано исключительно с движением жидкости.