Конформное преобразование плоскости течения

Если комплексная переменная является аналитической функцией от заданной в явном виде то существует связь между формой кривой в плоскости z и формой кривой, определяемой соответствующим множеством точек в плоскости Эта связь есть следствие того свойства аналитической функции от что значение производной не зависит от способа, по которому приращения 6а: и стремятся к нулю по отдельности. Если два различных малых приращения переменной соответствующие приращения переменной то

Два коротких отрезка прямой, соединяющих точки с точкой z в комплексной плоскости имеют длины, отношение которых равно и пересекаются друг с другом под углом

(как обычно принято в теории функций комплексного переменного, через обозначается угол, тангенс которого равен отношению мнимой и действительной частей Два коротких отрезка, соединяющие соответствующие точки с точкой в плоскости имеют длины, отношение которых определяется модулем и они пересекаются под углом Однако

так что с точностью до величин первого порядка малости будут равны как величины так и углы

Таким образом, некоторой замкнутой кривой малых линейных размеров из плоскости z соответствует замкнутая кривая малых линейных размеров такой же формы (с точностью до линейных

размеров первого порядка малости) в плоскости Соответственно две бесконечно малые фигуры имеют вообще различные ориентации и различные размеры, но подобны. Преобразование такого вида из плоскости z в плоскость посредством аналитической функции двух комплексных переменных называется конформным отображением. Конечно, формы двух соответствующих фигур конечных линейных размеров в плоскостях могут различаться, но если мысленно представить эти фигуры разделенными на большое число элементов малых линейных размеров, то соответствующее множество приближенно подобных элементов в другой плоскости будет составлять соответствующую фигуру конечного размера.

Соотношение между размерами двух малых соответствующих фигур в плоскостях зависит от вида функции Любой короткий отрезок прямой при преобразовании из плоскости z в отрезок плоскости имеет длину в раз больше исходного, и, следовательно, площадь малой фигуры при преобразовании из плоскости z в плоскость увеличивается в раз. В любой точке плоскости где производная равна нулю или бесконечности, сделанные замечания, очевидно, неприменимы; такие точки представляют собой сингулярные (особые) точки преобразования, в которых конформность отображения нарушается.

Указанные свойства конформного отображения имеют прямое отношение к теории безвихревого течения в двух измерениях. Если комплексный потенциал безвихревого течения в некоторой области плоскости z и если z представляет собой аналитическую функцию другой комплексной переменной, то тогда также можно рассматривать как аналитическую функцию от действительно, отношение приращений, из которого получается производная по можно записать в виде

и оба сомножителя в правой части равенства стремятся к единственному пределу при и 6 у, а также стремящихся к нулю независимо друг от друга. Таким образом, функция представляет собой комплексный потенциал безвихревого течения в некоторой области плоскости ; при этом говорят, что течение из плоскости z отображено на течение в плоскости Семейства эквипотенциальных линий и линий тока из плоскости определяемые равенствами преобразуются в семейства кривых в плоскости на которых потенциал скорости и функция тока также постоянны и которые являются эквипотенциальными линиями и линиями тока течения в плоскости причем, как и в плоскости оба семейства ортогональны в плоскости исключая особые точки преобразования. Компоненты скорости в каждой точке течения в плоскости определяются

равенством

Между прочим, это равенство показывает, что модуль скорости изменяется при преобразовании из плоскости z в плоскость с множителем, обратным тому, с которым изменяются линейные размеры малых фигур; таким образом, кинетическая энергия жидкости, содержащейся внутри замкнутой кривой (как малых, так и конечных линейных размеров) в плоскости равна кинетической энергии соответствующего течения в области, окруженной преобразованной кривой в плоскости

В некоторых полях движение жидкости связано с наличием особенностей типа источника и вихря, описанных в гл. 2. Можно сказать, что особенности вполне определенного типа и интенсивности располагаются (одновременно) в некоторых точках плоскости и задача состоит в том, чтобы определить безвихревое течение, которое совместимо с этими особенностями и границей данной формы. Поэтому нужно рассмотреть соотношение между течением вблизи особенности в плоскости z и течением вблизи соответствующей точки в плоскости Вблизи особенности типа источника или вихря функции принимают очень большие значения и в основном определяются вкладом от этой особенности. Таким образом, если в точке расположена особенность типа источника интенсивности и одновременно особенность типа вихря интенсивности и (другие особенности более сложного вида можно построить на основании простого источника и простого вихря способом, описанным в § 2.5, 2.6), то в окрестности этой точки

независимо от характера остального течения. В то же время если точка не является особой точкой преобразования то вблизи нее имеем

так что приближенное выражение для вблизи точки можно переписать в виде

Следовательно, безвихревое течение в плоскости имеет аналогичную особенность, расположенную в соответствующей точке и с той же самой интенсивностью источника и вихря; можно сказать, что точечный источник в плоскости z преобразуется

в точечный источник в плоскости аналогичное утверждение справедливо и для точечного вихря.

Соответствующие результаты можно получить для более сложных точечных особенностей, отмечая способ, которым они составляются из источников или вихрей. Два источника, которые вместе образуют диполь, из плоскости z преобразуются в идентичные источники в соответствующих близких точках плоскости и поскольку при отображении бесконечно малое расстояние между двумя точками изменяется в раз, то в результате отображения интенсивность диполя из источников умножается на ту же величину (кроме того, конечно, может измениться направление диполя). Очевидно, что мультиполь, составленный из простых источников или вихрей, преобразуется в особенность того же самого вида в соответствующей точке плоскости с интенсивностью, измененной в раз.

Тот результат, что источнику или вихрю из плоскости z соответствует идентичный источник или вихрь в плоскости иначе можно рассматривать как следствие того, что если функция многозначна в плоскости z (это возможно, когда наличие внешних границ или особенностей делает область безвихревого течения многосвязной), то функция в соответствующих точках в плоскости также должна быть многозначной. Если через точку в плоскости z провести нестягиваемую замкнутую кривую (например, в двусвязной области безвихревого течения в плоскости то при движении вдоль этой кривой значение функции изменяется и, когда точка возвратится в свое исходное положение, оно становится больше на величину циклической постоянной и; подобным же образом значение возрастает на величину, равную результирующему объемному потоку через замкнутую кривую. Точно такие же изменения, по мере того как соответствующая кривая вычерчивается в плоскости должны происходить в значениях функций и (если, конечно, существует взаимно однозначное соответствие между точками в соответствующих областях плоскостей

Полезность конформного отображения как метода в теории безвихревого течения состоит в возможности преобразования данного поля течения неизвестной формы в поле течения, которое можно легче определить. Трудность нахождения функций данного поля течения зависит главным образом от геометрической формы границ, на которых должны удовлетворяться определенные условия. Если граница представляет собой бесконечную прямую линию или окружность, то имеется много стандартных методов для определения в случае границы более сложной геометрической формы может оказаться, что нет никакого прямого метода решения (кроме численного метода с использованием вычислительной машины).

Конформное преобразование может сделать задачу о безвихревом обтекании легче поддающейся решению путем превращения границы неудобной геометрической формы в более простую границу. Метод до некоторой степени зависит от характера данного поля течения, и позже мы рассмотрим два основных вида преобразования. Преобразование может оказать влияние на граничные условия, а также на форму границы. Во многих обычных случаях граничное условие в исходном (данном) поле течения состоит в том, что нормальная скорость всюду на границе равна нулю, т. е. на ней функция постоянна. Другая возможность заключается в том, что твердое тело, погруженное в жидкость в исходном поле течения, имеет заданный в данный момент времени закон движения, например угловую скорость и компоненты скорости центра объема тела, который в данный момент расположен в точке В этом случае на границе (см. (6.4.7)) имеем условие

где расстояние вдоль граничной кривой (в направлении против часовой стрелки), компоненты единичной внешней нормали к границе. Поскольку же

то условие на границе можно представить в виде

Это условие можно превратить в соотношение между функцией тока и координатами на границе в плоскости когда известно преобразование z в

Завершим наше изложение двумя замечаниями общего характера. Первое из них заключается в том, что метод конформного отображения оказывает помощь в построении безвихревых течений, связанных с простыми границами, такими, например, как окружность и эллипс, и эти течения оказываются потенциально полезными и в другом отношении. Одно безвихревое поле течения может быть преобразовано в другое посредством аналитического соотношения между двумя комплексными координатами хотя может случиться, что появление отрыва потока мешает реализовать на практике первое поле течения, второе поле течения может быть вполне реальным; следовательно, несоответствующее действительности первое течение может быть полезным в качестве вспомогательного математического средства для достижения цели в безвихревых полях течения, представляющих непосредственный физический интерес. Второе замечание состоит в том, что

использование конформного отображения в качестве рабочего средства имеет свои тонкости и трудности и требует практики на большем числе примеров, чем будет здесь описано.