Точки максимума скорости q и минимума давления р

Покажем сначала, что функция не может иметь локальный максимум или минимум во внутренней точке жидкости. Из уравнения (6.2.2) следует, что

по любой замкнутой поверхности окружающей область, полностью занятую соленоидальным безвихревым течением жидкости. Следовательно, подинтегральная функция не может быть постоянного знака на любой такой поверхности, и поэтому экстремум функции в какой-либо точке с некоторым другим и постоянным значением по малой замкнутой поверхности, окружающей эту точку, невозможен.

В этом рассуждении используется только то свойство функции что она удовлетворяет уравнению Лапласа. Следовательно, такое заключение справедливо и для производной а из этого следует, что вблизи любой внутренней точки жидкости можно отыскать другую точку такую, что

Мы можем выбрать направление оси х прямоугольной системы координат параллельно вектору в точке в таком случае заведомо

Следовательно, максимум величины скорости может появиться только в точке на границе. Появление минимума скорости во внутренней точке не исключается; в действительности критические точки, в которых скорость принимает наименьшее возможное значение, иногда возникают внутри жидкости.

Аналогичный результат можно получить для давления Из соотношения (6.2.5) следует, что

и, следовательно,

для любой замкнутой поверхности А, окружающей область, полностью занятую жидкостью. Если бы давление принимало минимальное значение в некоторой внутренней точке жидкости, то произведение было бы положительным во всех точках некоторой малой замкнутой поверхности, окружающей эту точку, и значение интеграла взятого по той же самой поверхности, было бы положительным; согласно же равенству (6.2.12), это невозможно. Следовательно, любая точка, в которой давление принимает минимальное значение, должна лежать на границе, хотя максимум может возникнуть и во внутренней точке. Положение минимума в общем случае не совпадает с положением максимума такое совпадение имеет место, если течение установившееся и изменение произведения пренебрежимо мало.

Эти результаты имеют качественное приложение в тех случаях, когда некоторые физические процессы происходят в том месте жидкости, где ее давление минимально или скорость максимальна. Так, например, кавитация возникает в воде в том случае, когда абсолютное давление падает ниже его критического значения, и мы приходим к выводу, что для данных границ (безвихревого) течения, по мере того как давление везде понижается, кавитация будет начинаться в определенной точке границы. Подобным же образом появление ударных волн, как известно, связано с локальными скоростями жидкости, превосходящими скорость звука. Для заданных границ течения максимальная скорость достигается в некоторой точке на границе, когда скорости жидкости всюду достаточно малы, чтобы жидкость можно было считать несжимаемой, и при увеличении скорости ударные волны появятся сначала (в предположении, что сжимаемость среды не изменяет положение максимума) вблизи границы.