Свободные слои смешения

Простейшим примером переходного слоя между двумя однородными потоками является диффундирующая вихревая пелена (см. § 4.3). Скорость жидкости в плоскостях, параллельных вихревой пелене, постоянна, а развитие течения происходит в большей мере во времени t, чем в направлении координаты х, как это имеет место в установившихся пограничных слоях. Член который отбрасывается в уравнениях пограничного слоя, здесь тождественно равен нулю, а давление поперек рассматриваемого слоя равно постоянному значению; таким образом, приведенное в § 4.3 решение является также и решением уравнений пограничного слоя, причем довольно простым, поскольку в нем нет нелинейных членов.

Установившийся свободный слой смешения по определению изменяется вдоль координаты следовательно, уравнения пограничного слоя теперь применимы. Один довольно общий вид такого слоя возникает, когда два однородных потока одной и той же жидкости движутся в направлении увеличения координаты х с разными скоростями соприкасаются друг с другом при (рис. 5.12.1). Если

Рис. 5.12.1. Установившийся переходный слой между двумя параллельными потоками, приведенными в соприкосновение при

Рис. 5.12.2. Профили скорости в установившемся переходном слое между двумя параллельными потоками жидкостей с различными плотностями и вязкостями

то мы имеем частный случай двумерного течения на границе широкой щели, через которую вытекает первоначально однородный поток жидкости.

Уравнением пограничного слоя в этом общем случае является уравнение (5.12.1), поскольку давление постоянно вне слоя, а следовательно, и внутри него; граничные условия таковы:

Легко можно показать, что существует автомодельное решение, удовлетворяющее этим граничным условиям с переходным слоем, толщина которого пропорциональна правда, результирующее обыкновенное дифференциальное уравнение для профиля скорости должно решаться численно. Эти профили скорости зависят от отношения и они показаны на рис. 5.12.2 для

и 0,5. Ясно, что жидкость верхней области никак не может ускоряться за счет контакта с нижним потоком; аналогично жидкость в нижней области не может замедляться. Таким образом, на поверхности контакта этих двух областей ускорение всегда равно нулю и эта поверхность изображается линией тока, которая проходит через начало координат и на которой профиль скорости имеет точку перегиба.

Подобное решение можно получить также и для двух параллельных потоков различных жидкостей, имеющих неодинаковые плотности и вязкости и соприкасающихся указанным выше образом (Лок (1951)). В этом случае независимыми переменными будут: для верхней области для нижней области (нельзя брать так как может быть равна нулю); уравнение, аналогичное уравнению (5.12.1), теперь нужно решать для каждой из областей с учетом условия непрерывности скорости и напряжения на поверхности контакта. Из непрерывности касательного напряжения следует (при ) разрывность производной на поверхности контакта, хотя вторая производная как и раньше, стремится к нулю при подходе сверху и снизу к этой поверхности. В автомодельных переменных упомянутое условие для напряжений

показывает, что решение теперь зависит не только от но и от

Это решение можно использовать для представления течения воздуха над водой при условии, что ограничение автомодельной формы распределения скорости выполняется всюду с момента соприкосновения потоков. Свободный слой смешения в однородной жидкости обнаруживает заметную неустойчивость, однако для слоя смешения на поверхности контакта воздуха с водой неустойчивость оказывается меньше из-за демпфирующего влияния на эту поверхность силы тяжести. На рис. 5.12.2 показаны профили скорости для случая при последнее значение соответствует течению воздуха над водой.