2.5. Особенности скорости расширения. Источники и стоки

В этом параграфе мы рассмотрим поле скоростей безвихревого течения которое определяется уравнениями (2.4.3) и выражением (2.4.4) и связано с распределением скорости объемного расширения, содержащим различного рода особенности. Основной тип особенности представляет собой просто изолированный «пик» величины А в данной точке жидкости. Предположим, что А принимает большое значение в некотором малом объеме содержащем внутри точку х, и равна нулю всюду вне его (если бы она не была равна нулю всюду вне этого малого объема, то к величине нужно было бы добавить дополнительное слагаемое в виде линейной функции, согласно выражению (2.4.5)). Поскольку теперь ненулевые значения А сконцентрированы вблизи точки х, выражение (2.4.5) запишется так:

где, как и раньше, В рассматриваемом случае имеет значение только интеграл по объему от величины А, а другие подробности ее распределения вблизи точки х не оказывают никакого влияния на скорость ие. Предполагая далее, что малый объем постепенно стягивается к точке х, а интеграл сохраняет постоянное значение, равное, например, (это значит, что при приходим к математическому понятию точечного источника жидкости, для которого безвихревое поле скоростей задается точными формулами

Величина называется интенсивностью источника (или стока, если отрицательно) и равна полному объемному потоку жидкости через любую замкнутую поверхность, окружающую точку х.

Понятие точечного источника имеет некоторое значение для непосредственного изучения полей течения реальной жидкости, хотя ценность его ограниченна, поскольку пики в распределении величины А редко вызываются динамическими эффектами внутри жидкости. Когда все же нечто похожее на точечный источник возникает, это обычно бывает прямым следствием некоторого внешнего воздействия. Например, труба малого диаметра, всасывающая жидкость, порождает течение, сходное с течением точечного стока на конце трубы (рис. 2.5.1); течение с одной стороне твердой плоскости с малым отверстием, через которое жидкость

Рис. 2.5.1. Течение, возникающее при отсосе среды через открытый конец трубы, приблизительно такое же, как и течение, создаваемое точечным стоком.

всасывается со скоростью единиц объема в секунду, приблизительно такое же, как и течение, порождаемое в неограниченной жидкости точечным источником интенсивностью Однако более важную роль точечный источник играет в теоретической гидромеханике в качестве одной из математических моделей, с помощью которых могут быть построены более сложные и более интересные поля течений. В оставшейся части этого параграфа показывается возможность построения полей течения с использованием в качестве основы такого источника.

Математическое понятие точечного источника получается путем локализации его в точке. Можно получить другую особенность, локализованную аналогичным образом, предположив, что источник и сток с равными интенсивностями расположены в точках соответственно. Если расстояние между ними устремить к нулю, а интенсивность к бесконечности таким образом, чтобы произведение тпбх стремилось к конечному пределу

то получится особенность, называемая диполем (источников) интенсивности в точке х. Безвихревое поле скоростей, связанное с диполем, представляет собой наложение полей, обусловленных

Рис. 2.5.2. Линии тока в осевой плоскости для течения, создаваемого диполем источников. Функция тока возрастает на одну и ту же величину между каждой парой соседних линий тока.

по отдельности источником и стоком, и поэтому оно имеет потенциал

и скорость

Поле скоростей (2.5.4) имеет осевую симметрию (с нулевой азимутальной компонентой) относительно направления и компоненты скорости , которая является соленоидальным вектором всюду, за исключением точки можно по этой причине выразить через функцию тока (§ 2.2). В сферических координатах с началом в точке х и в направлении радиальная компонента скорости , согласно (2.2.14), записывается в виде

где ; следовательно,

причем произвольная функция интегрирования определяется (равной нулю) из условий для поперечной компоненты скорости , которая также находится из равенства (2.5.5). На рис. 2.5.2 показана картина линий тока в осевой плоскости для течения, обусловленного диполем.

Заметим (это важно для дальнейших приложений), что при скорость, связанная с изолированным источником в точке х, стремится к нулю как в то время как скорость, создаваемая диполем, стремится к нулю как Другое важное свойство состоит в том, что поскольку интенсивности источника и стока, составляющих диполь, равны, то результирующий полный поток жидкости через поверхность, охватывающую диполь, отсутствует; для непосредственного представления реальных полей течения жидкости это свойство делает диполь более полезным, чем отдельный источник.

Аналогично можно получить другие, более сложные точечные особенности тем же методом, который был применен для построения диполя, исходя из отдельного источника. Если диполь интенсивности поместить в точку а другой — интенсивностью в точку и если устремить к нулю и при этом растет таким образом, что произведение стремится к конечному пределу, например то получается точечная особенность, для которой связанное с ней распределение скоростей находится из выражения потенциала

Эту особенность можно также рассматривать (в предельном случае) как наложение двух равных источников, расположенных в противоположных вершинах малого параллелограмма определенной формы вблизи точки х, и двух равных стоков такой же интенсивности, как интенсивность источников, в других его двух вершинах. Характер распределения скоростей, связанного с особенностями высшего порядка, непосредственно ясен из выражения потенциала (2.5.6).

Можно представить, что пики в распределении скорости объемного расширения жидкости находятся на некоторых линиях и поверхностях в жидкости, и тем самым определить линию и поверхность особенностей. Так же как полный объемный поток жидкости от точечного источника имеет заданную ненулевую величину, так и поток на единицу длины линии распределенных источников не равен нулю, и он измеряет линейную плотность интенсивности источников (которая может быть неодинаковой во всех точках линии). Подобным же образом поток на единицу площади поверхности источников отличен от нуля и представляет собой меру поверхностной плотности интенсивности источников.

Диполи и особенности более высокого порядка также можно распределить по линиям и поверхностям с ненулевой и конечной плотностью.

Если линейная плотность интенсивности источника равна в любой точке линии, параллельной оси то каждый элемент линии можно рассматривать в качестве точечного источника интенсивности и безвихревое поле скоростей связанное с линией в целом, определяется по формулам

где Скалярная функция, градиент которой имеет приведенные выше составляющие, записывается в виде

Следует заметить, что попытка получить функцию (2.5.8) непосредственно путем интегрирования выражения для точечного источника по всем значениям z оказывается безуспешной, так как интеграл расходится; однако он расходится не по переменным (х, у) (появляется бесконечно большая постоянная) и функция (2.5.8) представляет собой конечную часть интеграла, которая зависит от (х, у) и которая вследствие этого и выражает поле скоростей.

Эта однородная и прямая линия источников в трехмерном поле эквивалентна, конечно, точечному источнику в двумерном поле. Компоненты скорости (2.5.7) можно было бы вывести, исходя с самого начала из понятия точечного источника интенсивности расположенного в точке (х, у) двумерного поля; тогда результирующий поток жидкости на единицу площади (или объемный поток на единицу глубины поля течения) через все кривые в плоскости (х, у), охватывающие точку (х, у), будет равен