Сфера в чисто деформационном течении

Жидкость с коэффициентом вязкости и с плотностью занимает пространство вне сферы радиуса а и на больших расстояниях от нее совершает чисто деформационное движение, определяемое тензором скоростей деформации при Скорость и давление в жидкости можно записать как

где давление в чисто деформационном движении с тензором при отсутствии сферы; представляют изменения, вызываемые наличием сферы, и

Пусть центр сферы находится в начале координат; тогда в силу симметрии не существует тенденции сферы к поступательному перемещению, и поверхность сферы все время задается уравнением следовательно,

Существуют дополнительные условия на поверхности сферы, которые зависят от природы частиц. Мы можем включить в рассмотрение частицы различных видов, предполагая, что сфера содержит несжимаемую жидкость с коэффициентом вязкости (случай твердой частицы соответствует, как и в § 4.9, . При переходе через поверхность раздела скорость должна быть непрерывной; то же относится и к касательной компоненте напряжения, если предположить, как и в § 4.9, что поверхность раздела не обладает никакими другими механическими свойствами, кроме однородного поверхностного натяжения. Таким образом, при имеем

где чертой сверху обозначены величины, относящиеся к движению внутри сферы, и вектор нормали к поверхности. Кроме того, при величины конечны.

Скорости удовлетворяют уравнению Навье — Стокса (с различными значениями коэффициента вязкости), однако для малой сферической частицы, очевидно, можно использовать приближенную форму этого уравнения, как и в случае течения, обусловленного поступательным движением малой сферы (§ 4.9). Для течения вне сферы уравнение Навье — Стокса после замены в нем скоростей и давлений по формулам (4.11.1) приводится

к виду

Изменение невозмущенной скорости по области, занятой частицей, имеет величину порядка очевидно, что возмущение скорости и вблизи частицы имеет тот же порядок. Следовательно, если радиус частицы удовлетворяет условию

(и если скорость деформации изменяется не слишком быстро), то течение вблизи частицы определяется приближенным уравнением

При одинаковых условиях скорость и давление внутри сферы удовлетворяют такому же уравнению движения без сил инерции

Наконец, закон сохранения массы дает два уравнения

Уравнения (4.11.7), (4.11.8) и (4.11.9) и граничные условия (4.11.2), (4.11.3) и (4.11.4), описывающие возмущенное движение, линейны и однородны относительно В описание поверхности раздела никакой вектор не входит, и с помощью рассуждения, подобного рассуждению из § 4.9, можно показать, что давления (которые представляют собой гармонические функции) и скорости должны выражаться функциями вида

где функции только от постоянные. Можно без труда найти эти функции, которые удовлетворяют основным уравнениям и условиям на больших расстояниях от частицы и при

Условия на поверхности раздела при будут удовлетворены, если

Между прочим заметим, что на больших расстояниях от частицы

откуда видно, что скорость возмущения на один порядок меньше, чем в случае поступательного движения сферы, как можно было бы ожидать исходя из «дипольного» характера условия для скорости и на поверхности сферы (см. (4.11.3) и (4.11.1)).

Приведенное решение было получено в пренебрежении инерционными членами в уравнении движения (4.11.5), и непротиворечивость решения можно доказать, используя его для оценки порядка величины пренебрегаемых членов. Таким способом мы находим, что отношение величин пренебрегаемой силы инерции и сохраняемой силы вязкости имеет порядок Это отношение, как и предполагалось, мало по сравнению с единицей в окрестности сферы, когда удовлетворяется условие (4.11.6), однако оно не мало во внешней области поля течения, где имеет порядок Таким образом, уравнение (4.11.7) нельзя считать хорошим приближением к полному уравнению движения (4.11.5) во внешней области, хотя снова можно убедиться (после приведения уравнения к безразмерному виду с параметрами что в ней все члены полного уравнения движения малы. Вероятно, улучшенное и полностью непротиворечивое приближение к распределению скорости можно было бы получить (для установившегося деформационного движения) исходя из уравнения

которое все еще остается линейным относительно и, однако мы примем без доказательства, что такое усовершенствованное приближение в окрестности частицы не будет существенно отличаться от полученного.