5.3. Теорема Кельвина о циркуляции и законы распространения завихренности для невязкой жидкости

Поскольку существуют условия, для которых движение жидкости при больших числах Рейнольдса аппроксимируется движением невязкой жидкости, полезно обсудить результаты предыдущего параграфа в случае Некоторые из них становятся крайне простыми и сильными. Для начала из (5.2.7) получим

т. е. в невязкой жидкости циркуляция по любому замкнутому жидкому контуру инвариантна. Это теорема Кельвина о циркуляции (Кельвин (1869)); она выведена здесь для невязкой

несжимаемой жидкости постоянной плотности, находящейся под действием удельной массовой силы, которую можно записать в виде градиента однозначной скалярной функции координат.

Уравнение для завихренности (5.2.2) записывается теперь короче:

В случае стягиваемой замкнутой жидкой кривой, которая ограничивает жидкую поверхность лежащую в жидкости, уравнение (5.3.1) эквивалентно такому:

Следовательно, поток завихренности через жидкую поверхность инвариантен. Это означает, что вихревые трубки остаются в некотором смысле неизменными; приводимые ниже соображения подтверждают этот вывод.

Рассмотрим жидкую трубку, которая в начальный момент совпадает с вихревой трубкой произвольного поперечного сечения. Первоначально вихревые линии не пересекают поверхность трубки, и циркуляция по любому замкнутому контуру, лежащему на поверхности трубки и охватывающему ее раз, равна произведению на напряженность вихревой трубки. Если теперь такие замкнутые контуры считать жидкими, то, согласно теореме Кельвина о циркуляции, циркуляция по каждому из них будет оставаться постоянной. В частности, циркуляция по всем тем замкнутым жидким контурам, которые имеют малые линейные размеры и в начальный момент лежат на вихревой трубке, не охватывая ее, остается равной нулю. Это означает, что поток завихренности через любую поверхность, ограниченную одним из этих малых замкнутых контуров, остается нулевым, а это возможно только тогда, когда эти жидкие замкнутые контуры продолжают находиться на поверхности вихревой трубки, не охватывая ее. Кроме того, в силу инвариантности циркуляции по тем из жидких контуров, которые вначале охватывали вихревую трубку, следует, что напряженность вихревой трубки, определяемая по всем этим контурам, инвариантна.

Таким образом, вихревая трубка, заданная в начальный момент системой вихревых линий, пересекающих некоторый замкнутый контур в жидкости, во время движения будет состоять из одних и тех же частиц жидкости. Мы можем утверждать, что в невязкой жидкости постоянной плотности вихревые трубки движутся вместе с жидкостью и их напряженность остается постоянной. Это утверждение подытоживает очень важные теоремы о завихренности, впервые сформулированные Гельмгольцем (1858).

Если поперечное сечение вихревой трубки стягивается в точку, то в пределе получается вихревая линия. Приведенные выше результаты показывают, что жидкая линия, совпадавшая в начальный момент с вихревой, совпадает с ней и в дальнейшем. Таким образом, для удобства можно считать, что вихревые линии состоят из одних и тех же частиц и движутся вместе с жидкостью. (В случае вязкой жидкости можно, конечно, нарисовать картину вихревых линий в любой момент времени, но не существует способа для идентификации отдельных вихревых линий в различные моменты времени.) Тот факт, что напряженность вихревой трубки малого поперечного сечения остается постоянной при ее движении вместе с жидкостью, справедлив также и для вихревой линии. Действительно, если жидкая линия, совпадающая с вихревой линией, растягивается, то малое поперечное сечение соответствующей вихревой трубки должно уменьшиться в соответствии с законом сохранения массы и величина завихренности должна увеличиться. Ясно, что длина элемента жидкой линии, совпадающей с вихревой линией, и локальное значение завихренности остаются в постоянном отношении: обе эти величины обратно пропорциональны бесконечно малой площади поперечного сечения соответствующей вихревой трубки. Таким образом, независимо показано, что направление и величина завихренности о жидкого элемента изменяются во времени точно так же, как направление и величина вектора 61, представляющего элемент жидкой линии, который в некоторый начальный момент времени, скажем был параллелен вектору локальной завихренности. Следовательно, для завихренности жидкого элемента мы имеем соотношение

из вывода соотношения (5.3.4) ясно, что оно становится точным при

Очевидно, было бы заманчиво интерпретировать некоторые из полученных выше результатов как следствие закона сохранения момента количества движения жидкости, заключенной в вихревой трубке. Такая интерпретация возможна в том случае, когда вихревая трубка имеет малое круговое поперечное сечение; оно будет оставаться круговым при движении, поскольку (невязкие) напряжения на границе вихревой трубки не образуют пары сил, действующей на жидкость внутри вихревой трубки. При более общих условиях напряженность вихревой трубки не просто пропорциональна моменту количества движения жидкости на единицу длины трубки: она связана с полученными выше результатами, а не с законом сохранения момента количества движения.

Данные результаты настолько общие, что имеет смысл показать их применимость к сжимаемой жидкости. Если ограничиться

рассмотрением гомоэнтропических течений (§ 3.4), то можно показать, что влияние сжимаемости на законы вихревого движения невязкой жидкости мало.

В гомоэнтропическом поле течения плотность жидкости в любой точке зависит только от (абсолютного) давления, и мы можем, следовательно, записать

Если не учитывать вязкость и считать массовую силу заданной в форме градиента то уравнение движения примет следующий вид:

Вывод соотношения (5.3.1) остается в силе, и поэтому теорема Кельвина о циркуляции применима. Отсюда следует, что вихревые трубки, как и раньше, движутся вместе с жидкостью, а их напряженность сохраняется. Уравнение для завихренности, которое получается путем применения операции ротора к обеим частям уравнения (5.3.5) и использования векторного тождества, как и при выводе (5.1.1), в данном случае таково:

Используя уравнение сохранения массы, находим

Уравнение (5.3.3) для потока завихренности остается неизменным; дело в том, что влияние сжимаемости на скорости изменения компенсируют друг друга. Отсюда следует, что вихревые линии движутся вместе с жидкостью, а изменения завихренности жидкого элемента тесно связаны с изменениями линейного элемента 61, который в начальный момент локально параллелен вектору завихренности Ясно также, что соотношению (5.3.4) в данном случае соответствует

Мы можем получить теперь соотношения (5.3.4) и (5.3.7) в лагранжевой форме. Заметим для этого, что, если суть радиусы-векторы одного из концов элемента в моменты времени соответственно, то отношение равно производной вектора х по а в направлении элемента Таким образом, мы получаем чисто геометрическое соотношение

где элемент локально параллелен вектору завихренности. После подстановки (5.3.8) в (5.3.7) находим

Это уравнение (в случае несжимаемой жидкости) впервые было получено Коши.