1.3. Объемные и поверхностные силы, действующие на жидкость

Можно различать два вида сил, которые действуют на вещество в целом. К первому относятся силы дальнего действия, подобные силе тяжести, которая очень медленно убывает с увеличением расстояния между взаимодействующими элементами и которая все еще значительна на расстояниях, характерных для естественных течений жидкости. Такие силы способны проникать внутрь жидкости и воздействовать на все ее элементы. Сила тяжести представляет собой очевидный и наиболее важный пример; два других вида сил дальнего действия, представляющие интерес в механике жидкости, — это электромагнитные силы в жидкости, несущей электрический заряд, или в жидкости, через которую пропущен электрический ток, и силы инерции (такие, как центробежная сила), которые действуют на все элементы массы, если их движение рассматривается в системе координат, движущейся с ускорением. Следствие медленного изменения любой из этих сил дальнего действия с изменением положения элемента жидкости, на который она действует, состоит в том, что сила действует в одинаковой мере на все вещество внутри малого элемента объема, а полная сила пропорциональна величине этого элемента объема. Поэтому силы дальнего действия можно также назвать объемными, или массовыми, силами.

Когда уравнения движения записываются в общем виде, сумма всех массовых сил, действующих в момент времени на жидкость внутри элемента объема окружающего точку с радиусом-вектором х, обозначается

Множитель введен вследствие того, что два обычных типа массовых сил на единицу объема — сила тяжести и сила инерции, вводимая в движущейся с ускорением системе координат, — в действительности пропорциональны массе элемента объема, на который они действуют. Для гравитационного поля Земли сила на единицу массы есть

причем вектор не зависит от времени и направлен вертикально вниз.

Ко второму виду относятся силы близкого действия, которые непосредственно связаны с молекулярным строением вещества, убывают крайне быстро с увеличением расстояния между взаимодействующими элементами и существенны только тогда, когда величина этого расстояния сравнима с величиной удаления молекул друг от друга в жидкости. Они пренебрежимо малы до тех пор, пока нет непосредственного механического контакта между взаимодействующими элементами, как в случае взаимодействия между двумя твердыми телами, поскольку без такого контакта никакие молекулы одного из элементов не подходят достаточна близко к молекулам другого элемента. Силы близкого действия, возникающие между двумя массами газа на их общей границе, вызваны в основном переносом количества движения через общую границу в результате прохождения через нее молекул. В случае жидкости этот процесс более сложен, так как имеются добавки к силам близкого действия, или контактным силам, за счет переноса молекулами количества движения поперек общей границы при их колебательном движении относительно некоторого квазистационарного положения и за счет сил взаимодействия между молекулами по обе стороны от общей границы; обе эти добавочные силы имеют большую величину, но они действуют приблизительно в противоположных направлениях и их результирующая обычно намного меньше каждой силы в отдельности. Однако, как уже отмечалось, законы механики сплошной среды не зависят от молекулярного происхождения этих контактных сил и на данной стадии нет необходимости вдаваться в детали их происхождения.

Если на элемент массы жидкости действуют силы близкого действия, возникающие при взаимодействии с веществом (твердым или жидким), расположенным вне элемента, то они могут действовать лишь на тонкий слой, который примыкает к границе элемента жидкости и толщина которого равна глубине «проникания» этих сил. Поэтому полные силы близкого действия

определяются площадью поверхности элемента, на который они действуют, и не зависят непосредственно от его объема. Различные части замкнутой поверхности, окружающей элемент жидкости, имеют различные ориентации, так что нет смысла определять силы близкого действия через величину их полного влияния на конечный элемент объема жидкости; вместо этого рассмотрим плоский элемент поверхности в жидкости и определим локальную силу близкого действия как полную силу, действующую на одну сторону элемента от жидкости с другой его стороны. При условии, что глубина проникания сил близкого действия мала по сравнению с линейными размерами плоского элемента поверхности, эта полная сила, действующая на элемент, должна быть пропорциональна его площади и величину этой силы в момент времени для элемента с радиусом-вектором х можно записать в виде вектора

Сила 2, действующая на единицу площади, называется локальным напряжением. Ниже излагается способ определения зависимости от направления единичной нормали к элементу поверхности Сила, действующая через элемент поверхности жидкости на жидкость с другой его стороны, равна, конечно, а поскольку эту силу можно представить также в виде то ясно, что функция 2 должна быть нечетной по Соглашение о направлении нормали которое должно быть принято здесь, состоит в том, что вектор 2 представляет собой напряжение, оказываемое жидкостью с той стороны элемента поверхности, в которую направлена нормаль на жидкость с противоположной стороны элемента поверхности; это значит, что нормальная составляющая вектора 2, совпадающая с направлением нормали представляет собой силу растяжения.

В гл. 3 будут выведены уравнения, описывающие движение жидкости, на которую действуют силы дальнего действия или массовые силы вида (1.3.1) и силы близкого действия или поверхностные силы вида (1.3.2). Силы этих двух видов действуют также и на твердые тела, и их существование, вероятно, непосредственно более очевидно по физическому смыслу для твердых тел, чем для жидких сред. В случае недеформируемого твердого тела единственно возможными силами близкого действия являются поверхностные (возникающие, например, в результате механического контакта с другим недеформируемым телом), и поэтому нетрудно определить движение тела, когда известны действующие на него полная массовая и полная поверхностная силы. В тех случаях, когда твердое тело деформируемо, а также в жидкости различные частицы способны совершать различные движения и нужно рассматривать распределение поверхностных в массовых сил по всей среде; более того, относительное движение

Рис. 1.3.1. Элемент объема в форме тетраэдра с тремя азаимноортогональными гранями.

частиц может оказывать влияние как на поверхностные, так и на массовые силы. Зависимость массовых сил от локальных свойств жидкости очевидна, по крайней мере в случаях силы тяжести и сил инерции, вводимых при ускоренном движении системы координат, однако зависимость поверхностных сил от локальных свойств и характера движения жидкости потребует внимательного изучения.

Представление поверхностных сил тензором напряжений

Некоторые сведения о напряжении можно получить из его определения как силы, действующей на единицу площади, и закона движения элемента массы жидкости. Сначала найдем зависимость напряжения 2 от направления нормали к элементу поверхности, на который оно действует.

Рассмотрим все силы, действующие одновременно на жидкость внутри элемента объема в форме тетраэдра, как показано на рис. 1.3.1. Три его ортогональные грани имеют площади и единичные внешние нормали , а четвертая, наклонная грань имеет площадь и единичную нормаль Поверхностные силы будут действовать на жидкость в тетраэдре через каждую из четырех граней, и их сумма равна

Зависимость напряжения от х и времени здесь не указывается, так как радиус-вектор х для всех четырех слагаемых в данный

момент времени приближенно один и тот же. Принимая во внимание ортогональность трех граней, получим три соотношения вида

компоненту суммы поверхностных сил можно поэтому записать в виде

Полная массовая сила, действующая на жидкость внутри тетраэдра, пропорциональна объему который в линейных размерах тетраэдра представляет собой величину меньшего порядка, чем площадь 6.4. Масса жидкости в тетраэдре также есть величина порядка следовательно, такой же порядок имеет произведение массы на ускорение жидкости в тетраэдре при условии, что локальная плотность и ускорение конечны. Таким образом, если линейные размеры тетраэдра сделать сколь угодно малыми, не изменяя его формы, то первые два члена уравнения

стремятся к нулю как а третий член, очевидно, стремится к нулю как При этих условиях уравнение может удовлетворяться только в том случае, если коэффициент при 6.4 в (1.3.3) тождественно равен нулю (в предположении, что точные данные о результирующей поверхностной силе, действующей на элемент жидкости, требуют более высокой степени приближения, учитывающего различие между значениями 2 в различных точках на поверхности элемента жидкости), т. е.

Таким образом, компонента напряжения с индексом действующего в данном направлении на плоский элемент поверхности жидкости с произвольной ориентацией, определяемой единичной нормалью связана с такой же компонентой напряжения на любом из трех ортогональных плоских элементов поверхности в одном и том же положении в жидкости таким образом, как если бы она представляла собой вектор с ортогональными компонентами

Векторы и 2 не зависят от выбора системы координат, и выражение в фигурных скобках в (1.3.4) должно представлять собой компоненту некоторой величины, которая также не

зависит от системы координат. Другими словами, выражение в фигурных скобках представляет собой одну из компонент тензора второго порядка скажем и

Здесь есть компонента силы на единицу площади, действующая на плоский элемент поверхности, расположенный по нормали к направлению с индексом в точке жидкости х в момент времени тензор, имеющий своими компонентами называется тензором напряжений. Определение локального напряжения в жидкости связано теперь с величинами не зависящими от а не с векторной величиной

Аналогичным рассуждением можно показать, что не все девять компонент тензора напряжений независимы. На этот раз рассмотрим моменты различных сил, действующих на жидкость в объеме V произвольной формы; компонента полного момента относительно точки О внутри этого объема, возникающего за счет действия поверхностных сил на границе объема, равна

радиус-вектор элемента поверхности относительно точки О. Этот интеграл по замкнутой поверхности можно преобразовать по теореме Остроградского — Гаусса в интеграл по объему

Если теперь объем V устремить к нулю таким образом, чтобы конфигурация, создаваемая границей объема и неподвижной точкой О в нем, сохраняла ту же самую форму, то первый член в правой части равенства (1.3.6) будет стремиться к нулю как объем V, а второй член будет стремиться к нулю быстрее, а именно как Полный момент массовых сил относительно точки О, приложенный к элементу жидкости, составляет, очевидно, величину порядка когда V мало, и поэтому в объеме V одновременно имеет место также скорость изменения момента количества движения жидкости. Следовательно, интеграл

Рис. 1.3.2. Поверхностные силы, действующие на прямоугольный элемент жидкости единичной толщины.

очевидно, представляет собой величину более высокого порядка по сравнению с другими членами уравнения момента для объема V, и вследствие этого он должен тождественно обращаться в нуль. Это возможно при любом выборе положения точки О и формы объема V, когда величина представляет собой непрерывную функцию х, если только

всюду внутри жидкости; это следует из того, что если бы произведение в некоторой области было отлично от нуля, то можно было бы выбрать малый объем V, для которого интеграл не равен нулю, что приводит к противоречию Из (1.3.7) следует, что тензор напряжений симметричен, т. е. и имеет только шесть независимых компонент.

Три диагональные компоненты тензора представляют собой нормальные напряжения в том смысле, что каждое из них дает нормальную составляющую поверхностной силы, действующей на плоский элемент поверхности, параллельный одной из координатных плоскостей. Шесть внедиагональных компонент тензора называются касательными напряжениями; иногда их называют также и напряжениями сдвига, поскольку как в жидкостях, так и в твердых телах они возникают при сдвиговом движении или перемещении, в котором одни параллельные слои вещества скользят относительно других. На рис. 1.3.2 показаны в первом приближении различные поверхностные силы, действующие в плоскости на малый элемент прямоугольной формы со сторонами и единичной толщиной в направлении оси компоненты напряжения принимают неодинаковые значения на противоположных сторонах прямоугольника и при выводе уравнения

движения элемента жидкости необходимо учитывать их разности порядка или

Всегда можно выбрать направления осей прямоугольной системы координат так, чтобы все внедиагональные элементы симметричного тензора второго порядка были равны нулю. Если тензор напряжений отнесен к таким главным осям в данной точке х, то диагональные элементы тензора напряжения превращаются в главные напряжения, например известное свойство тензоров второго порядка заключается в том, что при изменении направления осей прямоугольной системы координат сумма диагональных элементов остается неизменной, так что

В этих новых осях компоненты силы, действующие на единицу площади элемента с нормалью равны

Сила с компонентами , действующая на единицу площади перпендикулярно этому элементу, соответствует растяжению (или сжатию, если отрицательно) в направлении первой из новых осей координат; аналогичное заключение справедливо и для сил с компонентами Таким образом, общее состояние жидкости вблизи какой-нибудь данной точки можно рассматривать как суперпозицию растяжений в трех взаимно ортогональных направлениях.

Тензор напряжений в покоящейся жидкости

Жидкость определена как среда, не способная оказывать сопротивление любому стремлению приложенных сил деформировать ее без изменения объема. Это определение имеет важное значение для выяснения формы тензора напряжений в покоящейся жидкости. Чтобы понять это, рассмотрим поверхностные силы, приложенные к жидкости внутри сферы, со стороны окружающей ее жидкости, причем радиус сферы считается настолько малым, что почти постоянно на ее поверхности. Выберем оси координат, совпадающие (локально) с главными осями тензора и запишем тензор напряжений, у которого внедиагональные элементы равны нулю, в виде суммы двух тензоров

Первый из этих тензоров сферически симметричен, или изотропен, и соответствующий добавок к силе на единицу поверхности сферы в точке с нормалью равен Это равномерное сжатие жидкости в сфере (поскольку знак обычно отрицателен) стремится изменить ее объем и может, конечно, выдерживаться жидкостью в сфере, хотя она находится в состоянии покоя.

Второй из тензоров в (1.3.9) определяет отклонение тензора напряжений от его изотропной формы. Диагональные элементы этого тензора имеют нулевую сумму, согласно (1.3.8), и поэтому представляют собой нормальные напряжения, по крайней мере одно из которых является растяжением, а второе — сжатием. Соответствующая часть силы, действующей на единицу поверхности сферы в точке с нормалью имеет компоненты (в новой системе координат)

Другими словами, сфера погружена в жидкость, которая находится в состоянии равномерного растяжения в направлении одной оси и одновременно равномерного сжатия в (ортогональном) направлении другой оси и равномерного растяжения или сжатия в третьем ортогональном направлении (алгебраическая сумма трех растяжений и сжатий равна нулю), как показано на рис. 1.3.3. Следовательно, этот второй добавок стремится путем деформации превратить сферический элемент жидкости в эллипсоидальный без какого-либо изменения объема; эту деформирующую поверхностную силу нельзя уравновесить никакой объемной силой, поскольку объемная сила имеет другой порядок величины в малом объеме сферического элемента. Сферический элемент жидкости не может оказать сопротивления такой его деформации под влиянием приложенных сил (т. е. сил, обусловленных воздействиями, внешними по отношению к элементу), так что состояние покоя несовместимо с существованием ненулевых значений каких-нибудь компонент силы (1.3.10). Следовательно, в жидкости в состоянии покоя все главные напряжения одни и те же и равны во всех точках жидкости, т. е. тензор напряжений неподвижной жидкости всюду изотропен, любые ортогональные оси координат являются главными осями тензора напряжений и в жидкости действуют только нормальные напряжения.

Неподвижные жидкости обычно находятся в состоянии сжатия, и поэтому удобно написать тензор напряжения в неподвижной жидкости в виде

Рис. 1.3.3. Два вида напряжений на поверхности сферического элемента жидкости: а) однородное всестороннее сжатие и б) однородное растяжение в направлении одной главной оси тензора напряжений наряду с однородным сжатием в направлении другой главной оси.

где можно называть статическим давлением в жидкости и оно в общем случае зависит от х.

Из этого следует, что в неподвижной жидкости поверхностная сила на единицу плоского элемента поверхности жидкости с единичной нормалью равна и она является нормальной силой одной и той же величины при любых направлениях нормали в данной точке. Это известное свойство статического давления в жидкости «действовать одинаково во всех направлениях» часто выводится как следствие предположения, что в неподвижной жидкости касательные напряжения равны нулю; вывод состоит в рассмотрении просто условия равновесия сил, действующих на элемент жидкости простой геометрической формы, такой, как, например, тетраэдр с тремя ортогональными гранями 2) или часть цилиндра с одним плоским сечением, нормальным к его образующим, и другим, наклоненным к ним. Предположение о том, что касательные напряжения равны нулю в неподвижной жидкости, разумно, так как при отсутствии какого-либо движения внутри объема представляется маловероятным, чтобы случайная конфигурация молекул и их хаотическое движение могли привести к какому-либо предпочтительному со статистической точки зрения направленному движению, в котором результат действия, вызванного молекулярными силами и потоком количества движения через элемент поверхности, был бы направлен не по нормали к ней. Однако, по-видимому, указанное свойство тензора напряжения для неподвижной жидкости лучше выводить исходя из более простого предположения, что жидкости не могут оказывать сопротивления какой-либо попытке изменить их форму.